Distribuzione normale e trasformazione

[Drago98]

Salve a tutti, lunedì dovrei avere l'orale di calcolo delle probabilità e vorrei chiedervi aiuto per questo esercizio, su cui non sono completamente sicuro del risultato:

Sia X un numero aleatorio con densita normale avente $`E(X)=1 $ ; $ E(X^2) = 2 $ ; Trova la densità di probabilità $ g(Y) $ di $ Y=(X−1)^2 $ . Infine stabilire se $ cov(X,Y)>E(X^3) $

Io ho provato a risolverlo e ho ottenuto una distribuzione normale standard, ma con una y di troppo al numeratore..

Francamente non sono molto sicuro di quella y a numeratore, dato che senza si otterrebbe una distribuzione normale standard e quindi tutto avrebbe più senso, ma vi prego di aiutarmi a capire dove ho sbagliato.. Comunque al secondo quesito ho risposto no, ma diciamo che non avevo un fondamento su cui mi basavo precisamente..

Vi ringrazio infinitamente in anticipo, spero che mi possiate aiutare

[tommik]

Senza fare alcun conto, otteniamo subito la soluzione in modo più evoluto:

Basta infatti osservare che $(X-1)~N(0,1)$ e quindi $Y=(X-1)^2~chi_((1))^2$


Oppure puoi usare la definizione di Funzione di ripartizione: $F_Y(y)=P{Y<=y}$ e svolgere i calcoli...sono un paio di passaggi, non di più

[Drago98]

GRAZIE INFINITAMENTE!
Sono riuscito a capire come risolvere l'esercizio, appena capisco come utilizzare le formule, prometto di migliorare il testo e anche di inserire tutti i passaggi ahaha


Praticamente dato che X è una distribuzione normale con valore atteso e deviazione standard pari a 1, $ (X-1) $ sarà una distribuzione normale standard.
Dato che $ Y=(X-1)^2 $ otteniamo una distribuzione chi quadro con un grado di libertà.
Perciò avremo una Funzione di ripartizione di $ G(y)=P(Y<=y)=P(-sqrt(y)<=Z<=sqrt(y))=2Phi(sqrt(y) )-1 $ e con distribuzione densità di probabilità $ g(y)=1/sqrt(2pi)*e^(-y/2)*y^(-1/2) $
E' giusto fino a qui?

[tommik]

E' giusto fino a qui?

Ad ogni modo, anche non accorgendosi che $(X-1)$ è normale std, ecco tutti i passaggi che avresti dovuto fare:

$F_Y(y)=P{Y<=y}=P{(X-1)^2<=y}=P{|X-1|<=sqrt(y)}=P{1-sqrt(y)<=X<=1+sqrt(y)}=F_X(1+sqrt(y))-F_X(1-sqrt(y))$

Deriviamo ed otteniamo la densità:

$f_Y(y)=f_X(1+sqrt(y))1/(2sqrt(y))+f_X(1-sqrt(y))1/(2sqrt(y))$

Ora, ricordando che la X è una normale di media 1 e quindi è simmetrica rispetto ad uno, otteniamo

$f_Y(y)=1/sqrt(y)f_X(1+sqrt(y))=1/sqrt(y)1/sqrt(2pi)e^(-y/2)$

Possiamo subito riscrivere tale densità nel seguente modo¹

$f_Y(y)=(1/2)^(1/2)/(Gamma(1/2))y^(1/2-1)e^(-y/2)$

riconoscendo così

$f_(Y)(y)~"Gamma"(1/2;1/2)=chi_((1))^2$

Questo per il primo punto

Riguardo al secondo hai risposto correttamente, e si dimostra davvero facilmente così:

Utilizzando la definizione di Covarianza (che ti ho già scritto precedentemente) ottieni subito

$Cov(X,Y)=E[X^3-2X^2+X]-E[X]E[X-1]^2=E[X^3]-2xx2+1-1xx1=E[X^3]-4$

e quindi $Cov(X,Y)<E[X^3]$

tutto qui, facile come

in bocca al lupo per l'esame di lunedi

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Note

1. ricordando (e comunque di facile dimostrazione) che $Gamma(1/2)=sqrt(pi)$ ↑

[Drago98]

Ti ringrazio davvero tanto dell'aiuto che mi hai dato, grazie, grazie, grazie, senza di te non sarei riuscito minimamente a fare l'esercizio!!
In realtà devo vedere se sono passato, perché il professore ancora non l'ha comunicato, però mi è andato mooolto bene l'esame, perciò speriamo bene