Combinatoria: terne $(x,y,z) t.c.: x*y*z=84$

[dondolando]

L'esercizio dovrebbe essere abbastanza semplice, sono io che la combinatoria veramente non riesco ad afferrarla dal verso giusto, nonostante provi ad esercitarmi ed "entrare nel meccanismo" quanto più possibile. A volte riesco a risolvere esercizi considerati complicati ed altre mi blocco davanti a scemenze, ma andiamo avanti .

Quante possibili terne ordinate di numeri $(x,y,z)$ esistono $t.c. x*y*z=84$. La risposta "ufficiale" è $54$, ma l'ho svolto in mille modi diversi tentando un approccio e poi un altro senza arrivare mai a questo risultato.

L'idea di base da cui parto è fattorizzare $84=2^2*3*7$ ed immagino che ci siano $3$ "box" $x,y,z$ dove appunto dovrei "sistemare" i numeri. Mi verrebbe da pensare che per ognuno dei $4$ elementi io abbia $3$ scelte (x,y o z) ottenendo $3^4$ possibilità. Essendo però un elemento ripetuto $2$ volte devo dividere il risultato per $2$.

So che il ragionamento è sbagliato, ho provato a pensarla in tanti altri modi, volevo solo capire il ragionamento giusto e soprattutto perché questo ragionamento non lo sia, così che possa evitare l'errore in futuro.

P.S.:Se avete qualche consiglio/metodo che si distacchi dalla normale "dottrina" educativa su come entrare a passi sicuri nel mondo della combinatoria (presenteri, skills, corsi) sarebbe veramente ben accolto. Grazie in anticipo come sempre!

[tommik]

Ciao dondolando....partendo dalla scomposizione in fattori primi, ovvero $84=2*2*3*7*1$ queste sono tutte le terne "base" il cui prodotto è 84

$4*3*7$

$2*6*7$

$2*3*14$

$12*7*1$

$14*6*1$

$42*2*1$

$28*3*1$

$21*4*1$

$84*1*1$

come vedi sono esattamente 9. Essendo formate da 3 elementi possiamo avere $3! =6$ permutazioni per ogni terna base....totale $9xx6=54$

Come ho fatto? le ho semplicemente visualizzate e contate.....

ciao ciao

[otta96]

Ma la terna $21*2*2$ non la consideri?

[dondolando]

Intanto grazie mille della risposta. Avevo pensato di fare così, ma mi sono chiesto "e se fosse capitato un numero con una fattorizzazione enorme e diverse ripetizioni?", cioè così va bene fin quando il numero è piccolino. Cercavo un metodo che possa agire strutturalmente in ogni caso.

Potrei sbagliarmi, ma credo non sia giusto considerare $3!$ possibilità per combinazioni come la $84*1*1$ perché contiene due elementi uguali ripetuti. Stesso varrebbe per $21*2*2$ che come già è stato fatto notare manca.

[tommik]

sì è vero, avete ragione entrambi....ho dimenticato la terna $21*2*2$ e, per le due con il numero ripetuto, le terne ordinate sono solo 3 e non 6 come ho erroneamente scritto.

in totale $8*6+3+3=54$


sorry

Avevo pensato di fare così, ma...Cercavo un metodo che possa agire strutturalmente in ogni caso.

scusa se ho risposto....la prossima volta ti aiuterà sicuramente qualcun altro

buona continuazione sul forum

[dondolando]

scusa se ho risposto....la prossima volta ti aiuterà sicuramente qualcun altro

Non mi è sembrato di essere stato sgarbato o di aver fatto l'ingrato, anzi ti ho ringraziato più volte. Ho solo rimarcato il mio dubbio, magari ti veniva in mente un approccio differente essendo più esperto di me! Una buona serata

[tommik]

@dondolando: Queste sono le domande che hai fatto ed i dubbi che hai evidenziato nel tuo post iniziale.

1) La risposta "ufficiale" è $54$, ma l'ho svolto in mille modi diversi tentando un approccio e poi un altro senza arrivare mai a questo risultato.

2) Mi verrebbe da pensare che per ognuno dei $4$ elementi io abbia $3$ scelte (x,y o z) ottenendo $3^4$ possibilità. Essendo però un elemento ripetuto $2$ volte devo dividere il risultato per $2$.
So che il ragionamento è sbagliato, ho provato a pensarla in tanti altri modi, volevo solo capire il ragionamento giusto e soprattutto perché questo ragionamento non lo sia, così che possa evitare l'errore in futuro.

a cui ho risposto indicandoti come fare (sebbene con degli errori dovuti alla mia frettolosità nel rispondere al topic, la strada era assolutamente corretta...)

... e questo è stato il nucleo della tua risposta (ringraziamenti di rito a parte)

Avevo pensato di fare così, ma ...omissis... Cercavo un metodo che possa agire strutturalmente in ogni caso.

Come puoi notare, non vi è traccia di tale richiesta nel tuo post iniziale. Se avessi fatto subito tale domanda avrei risposto laconicamente scrivendo che, in generale, tale metodo non esiste: ogni esercizio è a sè e va trattato singolarmente.
Dal mio punto di vista, invece di rispondere così, avresti semplicemente potuto assimilare il mio suggerimento e risolvere il problema apportandovi le dovute correzioni: gli errori commessi erano alquanto evidenti.

Dato che rispondere significa investire del tempo prezioso ed io non ho tempo da perdere, ho semplicemente sottolineato che la prossima volta eviterò di rispondere ai tuoi topic.
Del resto ci sono migliaia di utenti iscritti qui di cui diverse decine sempre attive in questa stanza: TUTTI molto competenti che sapranno sicuramente rispondere alle tue richieste

Ora, per completezza, dopo la giusta osservazione di @Otta96, ho corretto i miei refusi e la soluzione al problema è chiara e precisa.


cordiali saluti

[dondolando]

Ricambio i saluti, ti ho risposto in MP per evitare intasamenti inutili sul forum!