Volume aleatorio di una sfera data la pdf del raggio

[tommik]

Ciao a tutti, ho difficoltà in questo esercizio:
Data una sfera di raggio R con pdf esponenziale
$f_r=1/\lambda e^(-x/\lambda) u(x)$
calcolare il volume della sfera.

Avevo provato a calcolare la CdF mediante l integrale ma credo che sia errato come procedimento .

[tommik]

il raggio è una variabile aleatoria $rarr$ il volume è una trasformazione del raggio $rarr$ il volume sarà anche lui una variabile aleatoria, trasformazione dell'esponenziale....

[guido fonzo]

Non ho capito come fare, l'unica cosa che mi è venuta in mente nel farlo è fare la Cdf

[tommik]

devi usare le trasformazioni di variabile

La CDF va benissimo....poi derivi, ma esiste una via per calcolare direttamente la densità. Il testo non specifica se devi calcolare la CDF oppure la densità del volume, puoi fare come vuoi.

Io ho calcolato direttamente la densità

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$f_Y(y)=1/(3lambda)root(3)(3/(4piy^2))e^(-1/lambdaroot(3)((3y)/(4pi)))u(y)$

fai vedere i tuoi ragionamenti

[guido fonzo]

Nel mio programma d'esame le trasformazioni di variabili aleatorie non ci sono, ecco perchè non riuscivo a farlo

[tommik]

Se non è in programma salta l'esercizio.

Però mi risulta strano, le trasformazioni si fanno sempre come programma di base.

mai visto questo?

Sia data $X$ che si distribuisce secondo una $f_X(x)$

si abbia la seguente trasformazione monotona di X

$Y=g(X)$

allora si dimostra (molto facilmente ) che (1)

$f_Y(y)=f_X[g^(-1)(y)]|d/(dy)g^(-1)|$

dimostrazione: partiamo dalla definizione di CDF¹

$F_Y(y)=P(Y<=y)=P(g(X)<=y)=P(X<=g^(-1)(y))=F_X(g^(-1)(y))$

$f_Y(y)=d/(dy)F_Y(y)=f_X[g^(-1)(y)]d/(dy)g^(-1)$

la $F_X(x)=1-e^(-x/lambda)$

$f_X(x)=1/lambda e^(-x/lambda)$

hai finito, puoi usare la strada che preferisci.

Nella formula (1) che ti ho scritto in generale, la derivata di $g^(-1)$ è in valore assoluto perché considera anche il caso di trasformazion monotona decrescente

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Note

1. nota che nel tuo esempio la trasformazione g è crescente: $Y=4/3piX^3$ ↑

[guido fonzo]

Mai visto, sfruttando cio che avevo a disposizione e non avendo idea di come fare avevo provato a calcolarmi l'integrale
$\int_{-oo}^x F_r dx$
Poichè se la funziona è continua posso scriverla come funzione integrale.

trovato questo ho rifatto l'integrale .

non so se è assurdo come ragionamento, ma era l'unica cosa a cui ho pensato.

[tommik]

Ripensandoci, visto che dici di non aver mai fatto trasformazioni di variabili aleatorie e ti hanno dato questo esercizio, allora può anche darsi che il testo che hai scritto sia impreciso.

Infatti, se la traccia fosse questa

Data una sfera di raggio R con pdf esponenziale
$f_r=1/\lambda e^(-x/\lambda) u(x)$
calcolare il VOLUME MEDIO DELLA SFERA

allora le cose si semplificherebbero un bel po'....e potresti risolverlo davvero in un paio di passaggi, senza passare per il calcolo di tutta la distribuzione del volume della sfera.

Infatti avresti

$E[Y]=4/3 piE[X^3]=4/3 pi int_0^(oo)x^3 1/lambdae^(-x/lambda)dx=4/3 pi lambda^3int_0^(oo)(x/lambda)^3e^(-x/lambda)d(x/lambda)=4/3 pi lambda^3 Gamma(4)=8pilambda^3$

fammi sapere

[guido fonzo]

Si cosi mi è molto più chiaro