Densità congiunte e marginali su un triangolo

[dæiv]

Ciao ragazzi, ho delle difficoltà a comprendere il calcolo per determinare questo tipo di densità e né sul libro né in rete ho trovato qualcosa che mi soddisfi. In particolare non riesco a determinare gli estremi di integrazione per densità del tipo X+Y = z. Vi riporto un esempio: Sia T un triangolo di vertici (0,0),(0,1),(3,1) e (X,Y) un vettore aleatorio con densità uniforme in T. Determinare la funzione di ripartizione della v.a. Y-(X/3).
Ho provato altri esercizi che ho trovato nel forum (come questo https://www.matematicamente.it/forum/vie ... 4&t=170449) ma anche qui, nel punto e), non ho ben capito come si sono ottenuti gli estremi di integrazione.
Ringrazio in anticipo per le risposte.

[tommik]

Vi riporto un esempio: Sia T un triangolo di vertici (0,0),(0,1),(3,1) e (X,Y) un vettore aleatorio con densità uniforme in T. Determinare la funzione di ripartizione della v.a. Y-(X/3).

Il triangolo in questione ha area $A=3/2$

Quindi la densità, uniforme nel triangolo T, sarà il reciproco dell'area, ovvero la seguente:

$f_(XY)(x,y)={{: ( 2/3 , ;(x,y) in T ),( 0 , ; "altrove" ) :}$

Per calcolare la Funzione di ripartizione di $Z=Y-X/3$ facciamo alcune osservazioni importanti:

1) prima osservazione: la variabile $Z=Y-X/3$, nel dominio assegnato, può assumere valori solo in $[0;1]$

2) disegnamo il dominio e facciamoci passare la retta $z=Y-X/3$, parametrica in $z in [0;1]$



Notiamo subito che l'area colorata, variabile in funzione di $z in [0;1]$, moltiplicata per la densità congiunta uniforme, rappresenta

$P(Z>z)= (3(1-z)^2)/2*2/3=(1-z)^2$

e quindi immediatamente trovi che


$F_Z(z)=P(Z<=z)=1-P(Z>z)=1-(1-z)^2$

Quindi, in sostanza,

$F_Z(z)={{: ( 0 , ;z<0 ),( 1-(1-z)^2 , ;0<=z<1 ),( 1 , ;z>=1 ) :}$

esercizio carino, facile, ma interessante; tutto risolto senza far ricorso a noiosi integrali doppi

Ho provato altri esercizi che ho trovato nel forum (come questo https://www.matematicamente.it/forum/vie ... 4&t=170449) ma anche qui, nel punto e), non ho ben capito come si sono ottenuti gli estremi di integrazione.

L'ho risolto io tempo fa. Gli estremi di integrazione? esattamente con lo stesso metodo utilizzato nell'esempio di questo topic, ovvero disegnando il dominio, facendoci passare la funzione di trasformazione e valutando le aree di interesse.

Spero sia tutto chiaro; in caso contrario puoi anche consultare i numerosi esempi sul forum.

Ti anticipo che, guardando sul forum, di esercizi di questo tipo ne troverai davvero tanti, almeno qualche centinaio che ho personalmente risolto e commentato nei dettagli

Ringrazio in anticipo per le risposte.

sarebbe anche gradito un feedback

[dæiv]

Ciao,grazie per la spiegazione,adesso mi risulta più chiaro. Proverò indubbiamente altri esercizi per approfondire meglio l'argomento