Problema variabili aleatorie

[Primal]

Si considerino due variabili aleatorie uniformi X e Y iid con supporto $ [0,1] $
1) Si determini la densità di probabilità della variabile aleatoria $ Z=-Y $
2) Si determini la densità di probabilità della variabile aleatoria $ U=X+Y $
3) Si determini la densità di probabilità della variabile aleatoria $ V=X-Y $
4) Si stabilisca se le variabili aleatorie U e V sono incorrelate

Mi servirebbe una mano su questo esercizio, anche se è facile non riesco a capire come procedere

[Primal]

Il primo credo di averlo risolto anche se non sono sicuro si faccia così:

$F(z)=Pr{Z<=z}=Pr{-Y<=z}=Pr{Y>=-Z}=1-Pr{Y<-z}=1-F(-z)=1+z$

Mentre per il secondo ancora non sono riuscito a capire come partire, cioè se devo fare l'integrale oppure trovare un modo per risolverlo come il primo

[tommik]

Il primo è perfetto; però ti chiede la densità, quindi ne devi derivare il risultato. Inoltre devi identificare il dominio e dire che distribuzione sia: $Z~U(-1;0)$

Per il secondo non servono gli integrali doppi (dato che la densità è uniforme) ma puoi fare così:

Dunque: Prima di tutto osserva che la variabile $Z=X+Y$ prende valori in $z in [0;2]$

Ora disegna il dominio delle due variabili su un grafico, otterrai un quadrato $[0;1] xx[0;1]$

all'interno di questo dominio ci "fai passare" la funzione di trasformazione, ovvero $X+Y=z rarr Y=z-X$ che è una retta parametrica in $z$

Ora vedrai che, al variare di $z in [0;1]$ la Funzione di ripartizione, ovvero $P(Z<=z)=P(Y<=z-X)$ è un triangolo di area $(z^2)/2$ mentre al variare di $z in (1;2]$ la stessa probabilità si può calcolare come 1 meno l'area del triangolino superiore destro, pari qundi a $1-(2-z)^2/2$

Ecco, questa che abbiamo trovato è la funzione di ripartizione della somma; derivi e trovi la densità richiesta:



$f_Z(z)=(1-|1-z|)I_([0;2])(z)$

disegnandone il grafico riconosci subito una distribuzione triangolare....

L'atra trasformazione è più o meno lo stesso

ciao ciao

[Primal]

Essendo iid non posso sfruttare la convoluzione e trovare il risultato tramite integrale?

Solo che per sfruttare la proprietà non mi è chiaro come scrivere la variabile aleatoria quando dice che è di supporto [0,1] vuol dire che è una distribuzione uniforme quindi vale 1 quando 0<x<1?
Perchè se così fosse non mi trovo con la tua soluzione...

[tommik]

certo che puoi farne la convoluzione! solo che in questo caso, avendo il dominio limitato in $[0;1]xx[0;1]$ ti si complicano un po' le cose....devi spezzare il dominio e ragionare sugli estremi di integrazione....l'approccio che ti ho indicato io, ovvero quello di partire dal calcolo della funzione di ripartizione è molto più immediato.

Oltretutto, se mi permetti, utilizzare gli integrali della convoluzione per integrare 1 mi sembra un tantino esagerato¹....

Esiste anche il metodo dello jacobiano.....

Ecco il grafico a cui mi riferisco



La funzione di ripartizione della somma $F_Z(z)$ è data dall'area del triangolino in basso a sinistra per il pezzo di dominio $z in [0;1]$ mentre è data dal complemento ad uno dell'area del triangolino di destra per la parte restante....derivi il risultato e trovi la densita....easy


PS: ovviamente ho indicato $Z=X+Y$ invece di $U=X+Y$ come dice la traccia ma non cambia nulla.

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Il punto 4)
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invece è puramente algebrico. Parti dalla definizione

$Cov(U,V)=E[U*V]-E[U]E[V]$

sostituisci...


$Cov(U,V)=E[(X+Y)(X-Y)]-E[X+Y]E[X-Y]$


Sviluppa e vedi che ti esce....

spero di essere stato chiaro

ciao ciao

---

Note

1. se proprio vuoi fare la convoluzione, basta fare così:
   
   $f_Z(z)=int_(-oo)^(+oo)f_X(z-y)f_Y(y)dy$ che diventa
   
   $f_Z(z)=int_(0)^(z)dy=z$ se $0<=z<1$
   
   $f_Z(z)=int_(z-1)^(1)dy=2-z$ se $1<=z<2$
   
   ovvero, in forma compatta:
   
   $f_Z(z)=(1-|1-z|)I_([0;2])(z)$
   
   ..che coincide con quanto trovato prima ↑