Ciao ragazzi, ho qualche difficoltà nel calcolo degli estremi di integrazione delle pdf marginali, potreste aiutarmi a capire? Vi faccio vedere l'esercizio:
"Si consideri la coppia (X; Y ) di variabili aleatorie caratterizzate dalla seguente pdf congiunta:
$ f_(XY)(x,y)={(alpha*|x|*|y|, AA(x,y)inD),(text{0},ALTRIMENTI):} $
dove $ D={-1<=x<=1, -(1-|x|)<=y<=1-|x|} $ e $alpha$ è una costante reale.
$A)$ Disegnare D e determinare il valore di in modo che $f_(XY)(x,y)$ sia una valida pdf.
$B)$ Calcolare le pdf marginali di X ed Y e verificare che siano valide.
$C)$ Stabilire se X ed Y sono indipendenti e/o incorrelate."
Allora, dopo aver disegnato il dominio (un rombo con i vertici nei punti $+-1$ degli assi, imposto il seguente integrale e risolvo:
$ int_{-1}^{1} int_{-1+|x|}^{1-|x|}alpha*|x|*|y| dydx $ da cui trovo che $alpha=6$.
Adesso, per il punto$B$, ho difficoltà nel trovare gli estremi di integrazione delle pdf marginali... Il professore mi ha detto che ,ad esempio per la pdf marginale di x, di fissare un valore x e vedere dove varia la y. Sicuramente fuori dal dominio la pdf marginale è 0, ma dentro al dominio quali sono gli estremi da integrare? io avevo pensato $-x<=y<=1$ ma non sono sicuro. Potreste aiutarmi a capire? Grazie!