distribuzione della somma di v.a. su un triangolo

Messaggioda dæiv » 16/07/2018, 13:59

Ciao ancora,ho trovato un altro esercizio con cui ho difficoltà: Sia \( T\subset R^2 \) il triangolo di vertici \( (0, 0), (0, 1) e (1, 1). \)Sia c un numero positivo e sia \( f(x,y) = cx \) \( (x,y)\in T \). Si determini una densità per la v.a. \( X + Y \).

Svolgendo i calcoli ho trovato che la c vale 6.

La funzione di ripartizione \( Fx+y(z) \) vale \( 0 \) se \( z < 0 \) , \( 1 \) se \( z > 2 \) e incognita per \( 0 ≤ z < 1 \) e \( 1 ≤ z < 2 \).

Per \( 0 ≤ z < 1 \) gli estremi di integrazione devono coprire il triangolo che si forma tra \( Y = z -X \) e \( Y = X \) per cui ho pensato di far variare la \( X \) tra \( 0 \) e \( z/2 \) mentre la \( Y \) tra \( 0 \) e \( z - x\). La soluzione del professore riporta invece che la \( Y \) varia tra \( z \) e \( z-x \) che però porterebbe a un risultato negativo.

La \( f.d.r \) nel terzo intervallo di \( z \) è invece : \( 1 \) \( - \) \( P(X+Y\geq z) \) in cui gli estremi di integrazione sono per
\( Y\in \) \( (z/2,1) \) e \( X \in (z-y,y) \).

L'unica cosa che non mi torna è l'intervallo \( (z,z-x) \) della \( f.d.r \) per \( 0\leq z< 1 \)
dæiv
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Re: distribuzione della somma di v.a. su un triangolo

Messaggioda tommik » 16/07/2018, 14:23

dæiv ha scritto:

...per cui ho pensato di far variare la \( X \) tra \( 0 \) e \( z/2 \) mentre la \( Y \) tra \( 0 \) e \( z - x\).

La soluzione del professore riporta invece che la \( Y \) varia tra \( z \) e \( z-x \)


[-(

Avete sbagliato entrambi. La corretta integrazione in quella parte di dominio è la seguente: $F_Z(z)=int_(0)^(z/2)6xdxint_(x)^(z-x)dy$
tommik
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