Dubbio testo esercizio

[Gianb24]

Salve a tutti, ho il seguente esercizio, che non sembra particolarmente complesso, ma non riesco a trovare un punto di partenza per tentare di risolverlo, il problema è il seguente:

Si consideri una coppi di dadi, di cui uno onesto, l'altro truccato, in cui cioè il sei esce con probabilità del 50%. I due dadi vengono lanciati fino a quando non si osserva una coppia di sei o una coppia di “uno”. Detta X la variabile aleatoria che indica il numero dei lanci effettuati, determinare:

a) Alfabeto e pmf di X;

b) La media di X;

c) La probabilità che X valga almeno due.

Cosa si intende per "variabile che indica il numero dei lanci effettuati"? Nel senso che il numero di lanci viene scelto da noi in partenza o viene visto come un incognita? Il numero di lanci non potrebbe essere teoricamente "infinito" e quindi la v.a. essere continua? Non riesco proprio a definire la pmf di questa v.a.

[tommik]

Il numero di lanci non potrebbe essere teoricamente "infinito" e quindi la v.a. essere continua?

...omissis....

Non riesco proprio a definire la pmf di questa v.a.

il numero di lanci necessari per avere una coppia di 6 o di 1 (dominio, supporto, o alfabeto della variabile aleatoria) infatti è teoricamente infinito....infinito numerabile, non con la potenza del continuo ed è il seguente:

$x=1,2,3,....$

ora dovrebbe essere anche chiaro che tipo di pmf hai di fronte (è una distribuzione nota) e dunque anche quanto vale la sua media (10 lanci, si fa anche a mente) e come calcolare la probabilità richiesta (90%, anche questo a mente).

[tommik]

Chiaro, la distribuzione in questione dovrebbe essere quella di Bernoulli (o si estrae una coppia di 1 o 6 oppure si estrae qualcos'altro) giusto? Quindi come alfabeto ovviamente ho {1,2,..,6}^2 e la pmf la definisco come 1/60 per tutti i risultati in cui non compare il 6 truccato e 1/12 sui risultati dove compare il dado truccato giusto? Quindi in definitiva la P(1,1) U P(6,6) = 1/10 per adesso il ragionamento è corretto oppure ho fatto passaggi inutili?

[Gianb24]

Ok forse ho capito, guardando la definizione di distribuzione geometrica in effetti quasi tutto quello che cerco è già nella def.
La pmf è la derivata della CDF quindi dovrebbe essere \(\displaystyle -k (9/10)^{k-1} \) (anche se non mi sembra coerente), come alfabeto invece i numeri naturali escluso lo 0.
Per trovare la media invece so che \(\displaystyle sum_{k=1} kpq^{k-1} = 1/p\) quindi la media è \(\displaystyle 10\)
Invece per calcolare che sia almeno 2 faccio la ccdf e aggiungo la prob che X = 2 giusto?

[tommik]

La pmf è la derivata della CDF

E' vero che la pdf è la derivata della CDF ma qui le cose stanno un po' diversamente, siamo nel dominio discreto.
Quindi, se proprio vuoi calcolare la pmf partendo dalla CDF devi far così (ma è inutile¹)

$P(X=k)=F_X(k)-F_(X)(k-1)=1-(1-p)^k-[1-(1-p)^(k-1)]=(1-p)^(k-1)-(1-p)^k=$

$=(1-p)^(k-1)(1-1+p)=(1-p)^(k-1)p=q^(k-1)p$

Invece per calcolare che sia almeno 2 faccio la ccdf e aggiungo la prob che X = 2 giusto?

Non so cosa sia la "ccdf". Per calcolare la probabilità richiesta basta fare così:

$P(X>=2)=1-P(X=1)=1-p=q$

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Mi astengo dal commentare come hai fatto il calcolo della derivata, perché essendo

$F_X(x)=1-q^x$ la sua derivata verrebbe $d/(dx)F=-q^x logq$

saluti.

---

Note

1. la pmf di una geometrica è più immediato calcolarla con la definizione: $(k-1)$ insuccessi consecutivi ed un successo al k-esimo tentativo $rarr P(X=k)=q^(k-1)p$
   
   Ricorda che esiste anche la stessa distribuzione geometrica trasformata ($Y=X-1$) in modo da contare il numero di fallimenti, quindi con alfabeto $NN$ ↑

[Gianb24]

Vero, ho fatto tutto molto veloce, comunque per ccdf intendo complementary cumulative distribution function. Grazie mille per i consigli... Sto usando il libro Fenomeni Aleatori di Conte e Galdi ma non ci sto capendo nulla, sapresti indicarmi un testo "migliore"?

[tommik]

La ccdf viene comunemente definita come "Survival Function" e questo un po' dappertutto. Onestamente Complementary ecc ecc non l'avevo mai sentita, anche se il concetto è chiarissimo.

Comunque, per usare il tuo linguaggio, utilizzando la $"CCDF"=P(X>x)=1-P(X<=x)=q^x$

potevi risolvere così

$P(X>=2)=P(X>1)=q$

easy

Testi buoni di Statistica? ce ne sono un'infinità. A me piacciono i seguenti

Sheldon Ross: probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze EDIT: ricco di esempi e si trova anche in PDF
Mood Graybill Boes: introduzione alla statistica

(li avrò consigliati qualche centinaio di volte sul forum)


Il testo da te citato non lo conosco.

puoi anche consultare il forum, dove troverai migliaia di esercizi svolti e completamente commentati, molti da me

[Gianb24]

Ti ringrazio per le risposte, grazie di tutto