Distribuzione congiunta in forma matriciale

[Blitz87]

Ciao a tutti, non riesco proprio a capire come impostare quest'esercizio:

Consideriamo due variabili aleatorie $X$ ed $Y$ che possono assumere i valori $[-1,1]$ e scriviamo la loro distribuzione congiunta in forma matriciale nella seguente maniera:

\begin{bmatrix}P(X=-1,Y=-1) & P(X=-1,Y=1)\\P(X=1,Y=-1) & P(X=1,Y=1)\end{bmatrix}

Quali delle seguenti matrici ad autentiche distribuzioni di probabilità? Tra di esse, in quali casi $X$ ed $Y$ sono indipendenti? Nei casi in cui siano indipendenti scrivete la funzione di ripartizione di $X$

a) \begin{bmatrix}1/2 & -1/2\\1/2 & 1/2\end{bmatrix}
b) \begin{bmatrix}2 & 1\\1 & 3\end{bmatrix}
c) \begin{bmatrix}1/2 & 1/2\\0 & 0\end{bmatrix}
d) \begin{bmatrix}2/15 & 1/5\\4/15 & 2/5\end{bmatrix}

Sarei molto grato se qualcuno sapesse spiegarmi come procedere o sapesse darmi qualche consiglio per impostare l'esercizio. Non riesco a capire come districarmi con le matrici in questa tipologia di esercizi. Grazie in anticipo

[tommik]

Davvero molto molto semplice.

Autentiche distribuzioni bivariate? ogni elemento all'interno deve essere $0<=(x_i,y_j)<=1$ e la somma deve dare 1, come sempre¹.

Sommi per riga e per colonna trovando le marginali.....le due variabili sono indipendenti se e solo se ogni valore all'interno della tabella è il prodotto dei due valori marginali

La distribuzione marginale si legge appunto ai margini della tabella.


Prendiamo ad esempio il caso d)

tutti i valori dentro la tabella (le probabilità congiunte) sono davvero probabilità, essendo valori compresi fra zero e uno e la loro somma fa uno

Questa è un'autentica distribuzione di probabilità bivariata discreta. Inoltre ogni valore all'interno è pari al prodotto dei valori ai margini....quindi vale sempre $p(x,y)=p(x)p(y) harr$ le variabili $X,Y$ sono indipendenti.

La variabile X, come vedi dalla tabella che ti ho indicato, vale $+-1$ con probabilità ${2/3;1/3}$ rispettivamente. Per scrivere la Funzione di Ripartizione non dovresti avere problemi.

saluti

---

Note

1. In tutta onestà potrebbe essere una distribuzione anche la matrice con tutti i valori maggiori o uguali di uno; potrebbero infatti essere delle frequenze assolute, probabilizzabili dividendo ogni numero per il totale...ma non penso che il testo voglia includere questo caso ↑

[Blitz87]

Grazie tante tommik sei un portento nel far capire le cose

Ora mi è tutto più chiaro ed approffitto della tua disponibilità scrivendoti la funzione di ripartizione per il caso d)

$F_x(x)=0$ se $x<-1$
$F_x(x)=1/3$ se $-1<=x<1$
$F_x(x)=1$ se $x>=1$

è corretto?

ancora grazie

P.S. Non ho capito la tua nota

[tommik]

P.S. Non ho capito la tua nota

la tabella del caso b) evidentemente non è una distribuzione di probabilità perché i valori sono tutti $>=1$ ma se consideriamo tali valori come delle frequenze assolute, ovvero come una distribuzione secondo due caratteri sul totale di 7 osservazioni allora possiamo dividere tutto per 7 ottenendo la tabella di destra



Che è un'autentica distribuzione di probabilità (anzi probabilità empirica, essendo stata derivata da osservazioni campionarie)

Ovviamente tutto va contestualizzato....

[Blitz87]

Ah ecco tutto più chiaro grazie!

Quindi seguendo le richieste del testo dovrei indicare i soli casi c) e d) come autentiche distribuzioni ma, tenendo conto della tua nota, anche il caso b) se modulato ad hoc, giusto?

[tommik]

sì esatto. il caso b) differisce da una distribuzione di probabilità solo per una costante moltiplicativa $C=1/7$

[Blitz87]

Tutto chiaro! Grazie

[Dlofud]

Grazie tante tommik sei un portento nel far capire le cose

Ora mi è tutto più chiaro ed approffitto della tua disponibilità scrivendoti la funzione di ripartizione per il caso d)

$F_x(x)=0$ se $x<-1$
$F_x(x)=1/3$ se $-1<=x<1$
$F_x(x)=1$ se $x>=1$

è corretto?

ancora grazie

P.S. Non ho capito la tua nota

Guardandomi un po' di esercizi, mi sono imbattuto in questo, così mi permetto di upparlo.

Qual è il ragionamento per calcolare la funzione di ripartizione di X per quel caso d come visto qui sopra? Si parte dalle marginali mi pare, ma poi mi perdo.

Se è un procedimento lungo, mi accontento anche di qualche link da guardarmi!

[tommik]

e la miseria.....una volta che hai la pmf marginale (che leggi appunto ai margini della tabella) basta sommare le probabilità....


$f_X(x)={{: ( 1/3 , ;"if "x=-1 ),(2/3 , ;"if "x=1),( 0 ,;"altrove") :}$


$F_X(x)={{: ( 0 , ;"if "x<-1),( 1/3 ,; "if "-1<=x<1 ),( 1 ,; "if "x>=1) :}$

Dato che la variabile è discreta, concentra massa di probabilità solo nei punti dove è definita: $x=+-1$ e quindi la FdR sarà una funzione a gradini, con due salti in corripondenza dei punti $x=+-1$ e costante altrove.

Se invece devi calcolare la Funzione di Ripartizione bivariata (la Funzione di Ripartizione del vettore $(X,Y)$) allora devi sommare, prima per riga e poi per colonna, tutti i valori di probabilità interni alla tabella.