Esercizio su v.c log-normale

[muccabaffuta]

Salve ragazzi. Mi ritrovo con questo esercizio:

"Il tempo (in minuti) impiegato da uno studente per completare il test di ingresso ad un corso di studi può essere
descritto da una variabile casuale X con distribuzione lognormale di parametri γ e δ. Il valore atteso della
distribuzione è di 55 minuti, mentre il parametro γ è pari a 3 e il parametro δ è uguale a 1,2.
b) Si determini la probabilità che uno studente riesca a completare il test entro un’ora dall’inizio della
prova.
c) Su un totale di 500 studenti che si presentano al test, si valuti quanti studenti avranno bisogno di più di
45 minuti di tempo per completarlo.
d) Quanto tempo si dovrebbe accordare per lo svolgimento del test affinché l’85% degli studenti riesca a
completarlo?"

Il punto tra questi che mi mette in difficoltà è il d, l'ultimo. Come dovrei procedere nel ragionamento per trovare una soluzione? Grazie mille.

[cooper]

prendi con le dovute cautele quanto sto per dirti perchè non ho mai trattato log-normali e sono alle prime armi.
io so che X ha distribuzione log-normale, se $logX~N(mu,sigma^2)$. quindi siccome sappiamo più cose sulla normale cerco di riportarmi a questa. quello che mi sembra chiederci è $P(X<x)=0.85$. quindi
$P(X<x)=P(logX<logx)$. ora cerco di normalizzare per poter usare le tavole della standard.
$P((logX - mu)/(sigma)<(logx - mu)/(sigma))=P(Z<z)=0.85$ con $Z~N(0,1)$. il valore di z che verifica quella proprietà è $0.8023$ e quindi basta invertire la definizione di z e ricavarci x che sarà il tempo cercato.
oltretutto non so ricondurmi a $mu, sigma^2$ avendo $gamma, delta$ che mi sembrano essere due cose diverse, anche perchè altrimenti la media non sarebbe corretta. avete una qualche tipo di parametro diverso per una log-normale? oppure potrebbe solo essere che non so qualcosa io e quindi la risoluzione sia sbagliata

[cooper]

Lo svolgimento di @cooper non mi convince: stai trovando il tempo x tale che uno specifico studente abbia finito il proprio compito entro di esso con probabilità 0.85.

come sempre non posso darti torto. ho considerato l'85% come una probabilità quando invece il testo parava degli studenti.

[tommik]

L'esercizio è scritto molto male ma come ha fatto @cooper è corretto.

$x=F_(X)^(-1)(0.85)$

Rappresenta proprio come si distribuisce l'85% della popolazione che ci mette meno a terminare il compito. Sulla risoluzione numerica lascerei perdere dato che, così scritti, i parametri $gamma, delta$ non significano nulla. Come noto, i parametri della $LN(mu, sigma)$ (oppure in alcuni testi, $sigma ^2$) indicano rispettivamente media e deviazione std (varianza) della normale $logX$.

Anche cercando di interpretarli, i conti non tornano in nessun modo in quanto si dovrebbe ottenere $E(X)=e^(mu+sigma^2/2)$ che si verifica facilmente con la definizione di media e completando il quadrato all'esponente, dopo aver cambiato variabile

Per chi fosse interessato ecco ulteriori dettagli sulla distribuzione in oggetto

[cooper]

Anche cercando di interpretarli, i conti non tornano in nessun modo in quanto si dovrebbe ottenere E(X)=eμ+σ22 che si verifica facilmente con la definizione di media e completando il quadrato all'esponente, dopo aver cambiato variabile

esatto era quello che mi stupiva

Per chi fosse interessato ecco ulteriori dettagli sulla distribuzione in oggetto

domani ho un esame, ma dopo ci guardo volentieri