Esercizio catene di Markov con tempo di rottura

[extem]

Ho questo problema da un vecchio esame di cui però il professore non ci ha postato soluzioni ed è un pochino diverso dal tipo di esercizi che ho visto di solito:

Il tempo di vita di un componente meccanico presente nel motore di una nuova auto, è una v.a. L ~ Exp($\lambda$),
con $\lambda in R^+$ e $\lambda$ < +inf. Alla rottura del componente, esso viene sostituito con un componente identico,
con le medesime caratteristiche probabilistiche di funzionamento, il tempo necessario alla sostituzione del pezzo essendo
una v.a. Z ~ Exp($\mu$), con $\mu in R^+$ e $\mu$ < +inf.
Ad ogni rimpiazzo, i tempi di funzionamento e sostituzione del pezzo meccanico sono assunti essere indipendenti tra di loro.
(a) Descrivere il sistema per mezzo di una catena di Markov $\{X(t)\}_{t \in R}$ a tempo continuo con spazio degli stati $S := \{0, 1\}$
dove lo stato 1 indica che il componente è funzionante, mentre lo stato 0 indica che è in atto
l’operazione di sostituzione.
(b) Trovare la probabilità di stato assoluta $p_1(t) := P(X(t) = 1)$, sfruttando la condizione iniziale caratterizzante il motore funzionante, ovvero $p_1(0) = 1$.
(c) Determinare la probabilità stazionaria $\pi_1$.

Ma sono fermo proprio sulla formalizzazione del problema, cioè ho interpretato 1 e 0 come stati ricorrenti di un gravo con matrice di transizione P con elementi {0, 1; 1, 0}, a quel punto pensavo di trovare $P_{00}(t)$ ma non sono sicuro di come farlo perché immagino che serva un numero pari di passi per poter tornare allo stato 0 (per come ho immaginato la matrice P) però con il fatto che il tempo di riparazione e di rottura hanno leggi diverse non sono sicuro di come impostare questa probabilità, sapreste aiutarmi?

Grazie mille.

[feddy]

Equazioni di Chapman-Kolmogorov.

Lo spazio degli stati è $\mathbf{S}={0,1}$, con l'assunzione ovvia che $X(t)=1 \quad \text{se al tempo t il sistema opera}$, mentre $X(t)=0$ nel caso contrario.
Per ipotesi $p_1(t)=1$, ora tutto quello che resta da fare è lavorare usando i tassi di transizione. Si ha che $q_0=q_{01} = \mu$, mentre $q_1=q_{10}=\lambda$.
A questo punto scrivere le equazioni di Chapman Kolmogorv è immediato: ottieni il sistema di ODEs al prim'ordine
\( \begin{cases} p_{0}'(t)=-\mu p_0(t)+\lambda p_1(t) \\ p_{1}'(t)= \mu p_0(t) - \lambda p_1(t) \end{cases} \) con le rispettive condizioni iniziaili.
Poichè per ogni tempo va richiesto che $p_0(t)$ è una distribuzione di probabilità sul quello spazio di stati binario si ha che $p_0(t)=1-p_1(t)$ , da cui sostituendo

$p_{1}'(t) + (\lambda+ \mu) p_{1}(t) = \mu$

Risolta questa equazione ottieni $p_1(t)$, con la condizione iniziale $p_1(0)=1$, trovi che la solzuione è

$p_1(t)= \frac{\mu}{\lambda + \mu} + \frac{\lambda}{\lambda + \mu} e^{-(\lambda + \mu)t}$

Da cui si trova immediatamente la misura stazionaria $\pi_1$ prendendo il limite $\lim_{t \rarr +\infty} p_{1}(t)=\frac{\mu}{\lambda+\mu}$

[extem]

Grazie mille dell'aiuto, sei stato chiarissimo ed esaustivo, non avevo pensato di impostarlo in questo modo, stavo cercando di trovare la matrice di transizione in modo da partire da quella.

[feddy]

Sì ma una volta trovata la matrice di transizione, avresti poi dovuto calcolare la misura invariante, e sicuramente ti avrebbe condotto a qualcosa di errato. Inoltre, come sai, le catene di Markov a tempo continuo, come quelle sopra che descrivono il tempo di rottura di componenti, sono modellizate da v.a. esponenziali (almeno nei libri).

Felice di esserti stato utile.