Problema probabilità variabili "casuali" distribuzione normale

[Perry0876]

Buonasera a tutti tra poco dovrò sostenere l'esame di Statistica per il secondo anno di Psicologia ma purtroppo mi trovo bloccato per questo genere di problemi che vi allego.

Ho messo casuali tra virgolette perché i riferimenti che ho cercato in internet mi descrivono così questo tipo di problemi ma non avendo nella mia teoria d'esame spiegata questo tipo di problemi (grazie Prof) non sono sicuro che sia il termine corretto, mi scuso in anticipo se ho postato nella sezione sbagliata.

Generalmente procedo a calcolare il relativo punteggio $Z$ per standardizzare i valori e successivamente trovare il relativo punteggio $X$ o trovare la percentuale richiesta dalle tavole di distribuzione normale. I risultati che mi vengono sono presenti nelle possibili soluzioni ma sono sbagliati anche se di poco. Per esempio nel primo mi esce $0,2418$ e nel secondo $21,06$.
Evidentemente sbaglio qualcosa nel procedimento ma anche dopo aver rivisto la teoria non capisco.

La formula a cui faccio riferimento per calcolare $Z$ è :

$Z= (X−μ)/σ $

Edit: rimosso le foto con il testo dei problemi che ora si trova di seguito e corretto la formula come da regolamento.

Vi ringrazio per qualunque tipo di aiuto, buona serata a tutti

[feddy]

Sono esercizi che più standard di così non si può. La formula a cui tu fai riferimento dice già tutto, ma il problema è che probabilmente (anzi sicuramente) non l'hai compresa perché o ti è stata spiegata male, oppure non l'hai studiata.

Tutto quello che c'è da capire è che se hai una variabile aleatoria $X$ che è $N(\mu, \sigma^2)$, allora vale sempre che la trasformazione $Z=\frac{X- \mu}{\sigma}$ è una normale a media $0$ e varianza $1$. E dimostrarlo è banale. In ogni libro di calcolo delle probabilità è inoltre mostrato che trasformazioni lineari di normali sono ancora normali.

Qual è esattamente il punto?
Che per calcolare, tanto per gradire, $P(a \leq X \leq b)$ serve calcolare $\int_{a}^{b} f_X(x)dx= \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt(2 \pi \sigma^2)} e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx$, che si sa essere non elementarmente calcolabile. La stessa normale in zero uno, dove l'integranda diventa il più semplice possibile, non è calcolabile elementarmente, se non in modo approssimato mediante opportuni metodi di integrazione numerica.
Sfruttando il fatto che dalla normale in zero uno si può ottenere una qualsiasi altra normale a media $\mu$ e varianza $\sigma^2$, allora basta conoscere le cosiddette "tavole" solo per normale in zero uno, ed il gioco è fatto.

La risposta al quesito uno dunque richiede di definire $Z= \frac{X-35}{8.5}$, da cui $P(\frac{20-35}{8.5}<Z<\frac{30-35}{8.5})$, da cui ricavi $P(-1.76<Z<-0.58) = P(Z<-0.58)-P(Z<-1.76)= F_{Z}(-0.58) - F_{Z}(-1.76)$, dove $F_X(x)$ indica la funzione di ripartizione della v.a. Z, che altro non è che $F_Z(z)=\int_{-\infty}^{z} f_{Z}(s)ds$, con $f_Z$ densità della variabile aleatoria $Z$.

Edit:
Ringrazio @tommik per avermi fatto notare che il testo forniva $\sigma$, non $\sigma^2$.

[feddy]

Ad ogni modo, benvenuto/a sul forum. Vedi Regolamento e formule

[Perry0876]

Innanzitutto ti ringrazio per l'esauriente risposta, molto chiara Purtroppo (o per fortuna) il mio professore non utilizza questo procedimento, nella teoria non ci sono mai accenni a limiti o integrali, ci sono solo formule basilari e al massimo il consulto delle tavole della distribuzione normale per valori di Z e T e F.

Scusami mi sono spiegato male prima, prendo in esempio il primo problema:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Devo trovare la Percentuale, quindi l'area sottesa alla curva per cui P (20 < X < 30) ovvero la percentuale che il valore X sia compreso tra 20 e 30.

$ Z=\frac{X- \mu}{\sigma} $

Sapendo che $\mu$ = 35 e $\sigma$= 8,5 allora Z(20)= -1,7647 e Z(30)= -0,5882

Ora cerco sulla tavola della distribuzione normale per valori Z negativi

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Quindi trovo che per valori a sinistra di Z(20) = -1,7647 ho una percentuale d'area di 0,0392 mentre per Z(30)= -0,5882 ho 0,2810 quindi per trovare la percentuale d'area compresa tra 20 < area < 30 proseguo sottraendo all'area di Z(30) - Z(20) = 0,2418 ovvero il 24,18 %. Il risultato è errato e non capisco il perché

Ti allego il grafico da cui ho pensato questo procedimento. (Scusami per la bassa qualità ma disegnare con l ipad non è il mio forte)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Grazie mille per l'aiuto, P.S: bellissimo l avatar non l'avevo visto ieri buttheah e Beavis mitici XD

[feddy]

http://www.calcolatorionline.it/calcola ... ormale.php

Stai sbagliando qualcosa nel leggere la tavola. Al link sopra puoi confrontare i risultati, ora non ho molto tempo.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Grazie per l'avatar

[tommik]

$(30-35)/(8.5)~~-0.59$ quindi $Phi(-0.59)=0.2776$

In definitiva la probabilità cercata è $0.2776-0.0392=0.2384$

L'altro è giusto. Piccole differenze sono dovute al fatto che il quantile non è proprio $-1.64$ ma qualcosina in più (in valore assoluto), circa $-1,645$

Per favore, leggi bene il regolamento: i testi dei problemi vanno scritti per esteso, senza limitarsi ad inserire foto, link o immagini, te lo ha detto anche @feddy prima.

Le tavole della gaussiana le conosciamo tutti, non serve che ci fai vedere la foto

Grazie per l'attenzione ed il rispetto delle regole

[Perry0876]

Scusami tommik non avevo letto bene il regolamento
La tavola l'avevo inserita per capire se stavo usando io la tavola sbagliata o meno

Ti ringrazio per il chiarimento, se ho capito bene l'errore è nell'approssimazione della percentuale d'area,
nel caso di $0,5882$ dovrei approssimare a $0,59$ quindi quando mi ritrovo questo genere di decimali tengo due cifre dopo lo zero e approssimo per eccesso ?

Nel caso di $1,7647$ invece non si approssima per difetto a $1,75$ ?
Scusami per la domanda banale ma così capisco meglio il ragionamento dietro per non sbagliare in futuro.

Il secondo problema è il seguente:

Una variabile casuale $X$ si distribuisce normalmente con media $\mu$ $= 35$ e deviazione standard $\sigma$ $= 8,5$ . Quale valore $x$ corrisponde a una probabilità $ P (X<=x)=0,05 $ ?

In questo caso sono un attimo confuso perchè per procedere calcolerei quel valore di $x$ per il quale alla sua sinistra c'è lo $0,05%$ di probabilità di trovare $X$ dato che voglio che $X<=x$ quindi cerco sulla tavola delle distribuzione per valore negativi di $Z$ (utilizzo $Z$ negativi perchè così trovo il valore di $Z$ per il quale alla sua sinistra ho la percentuale d'area $p = 0,05$ ?).
Quindi trovo per $0,05$ il corrispettivo valore $Z = -1,64$ e quindi avrei un $x = 22,06$ che è sbagliato poichè la risposta giusta è come hai giustamente detto tu prima per $Z = -1,645$ quindi $x= 21,01$ ,non capisco perchè dovrei aggiungere $0,05$

Il terzo penso di aver capito ora il ragionamento ma invece il 4 non capisco la domanda del problema:

Una variabile casuale $X$ si distribuisce normalmente con media $\mu$ $=35$ e deviazione standard $\sigma$ $= 8,5$.
Determinare la probabilità $P (X ? 40)$.

Non capisco cosa voglia dire questa simbologia, che la probabilità sia di ascissa $X$ e ordinata $40$ ? si riferisce quindi direttamente alla tavola di distribuzione normale dove devo trovare l'area percentuale dall'incrocio tra ascisse e ordinate ?
Con questi dati io capirei solo che posso trovare il valore $Z$ utilizzando come $X 40$ ma non capisco che senso abbia

Grazie tantissimo per la pazienza e l'aiuto sto lentamente capendo meglio ora

Edit: rimosso grassetto

[tommik]

Se guardi bene la tua tavola vedi che non hai mai il valore $0.05$. Comunemente va benissimo usare 1.64 ma per essere precisi vedi che il valore della tavola sta fra 1.64 e 1.65... è un esercizio un po' del cavolo.....

L'altro ti chiede se $X?40$ significa $X<=40$ oppure $X>40$

Tu sai che $P(X<=40)=0,7224$ e $ P(X>40)=0,2776$

Vedi un po' che alternativa è meglio scegliere fra quelle proposte

[Perry0876]

Ti ringrazio per la risposta ora mi è molto più chiaro Condivido che questa tipologia di esercizi è espressa male infatti altri che ho svolto sono riuscito a comprenderli meglio

Spero di riuscire a finirli allora, per ora ti ringrazio ancora moltissimo per il prezioso aiuto