Indipendenza di due variabili aleatorie

[lil_lakes]

Salve, dato questo esercizio:

Siano X e Y gli esiti di due lanci di una moneta dove associamo alla testa il valore $1$ e alla croce il valore $0$. Determinare la funzione di probabilità congiunta di $X*Y$ e $X + Y$ e stabilire se sono indipendenti.

Ho un problema a capire come calcolare se sono indipendenti.
Svolgimento prima parte:

$X$
$Im(X)={0,1}$
$P(X=0)=1/2$
$P(X=1)=1/2$

$Y$
$Im(Y)={0,1}$
$P(Y=0)=1/2$
$P(Y=1)=1/2$

$X*Y$
$Im(X*Y)={0,1}$
$P(X*Y=0)=3/4$
$P(X*Y=1)=1/4$

$X+Y$
$Im(X+Y)={0,1,2}$
$P(X+Y=0)=1/4$
$P(X+Y=1)=2/4=1/2$
$P(X+Y=2)=1/4$

Ora, per calcolare l'indipendenza, devo verificare:
$P((X=x_i)nn(Y=y_j))=P(X=x_i)*P(Y=y_j)$
$AAi,jin{0,1}$

Questo calcolo va fatto per ogni combinazione di i e j o, nel caso ci fossero molti più tipi di esiti in ballo, c'è un modo più veloce?
Se ho capito bene io farei così:
$P(X=x_i)=P(Y=y_j)=1/2$ $AAi,jin{0,1}$
quindi $AAi,jin{0,1}$:
$P((X=x_i)nn(Y=y_j))=1/2*1/2=1/4$
e
$P(X=x_i)*P(Y=y_j)=1/2*1/2=1/4$
allora la condizione di indipendenza è verificata e le due variabili sono indipendenti.

Questa dimostrazione di indipendenza è valida?

Grazie in anticipo