Calcolo della densità di probabilità

[eccelsius]

Sono totalmente bloccato su questo esercizio:

Sia $X$ una v.a. continua con $Im(X) = [0, 1]$ e densità di probabilità $p_X(x) = 1 AA x in [0, 1]$.
Determinare la densità di probabilità di $X^2$ e $1-4X$.

Considerando che $X:\Omega\rarr[0, 1]$ allora dovrebbero risultare:
$X^2:\Omega\rarr[0, 1]$
$1-4X:\Omega\rarr[-3, 1]$
ma come calcolo la loro densità di probabilità?

[tommik]

Ci sono almeno due strade, una mnemonica (con la formula già bella e pronta sul libro, solo da ricopiare) .... l'altra più istruttiva....ovviamente io prepondo per la seconda.

Poniamo quindi $Y=X^2$

e calcoliamo la CDF in base alla definizione

$F_Y(y)=P(Y<=y)$

la trovi e poi la derivi per ottenere la densità¹

L'altra è una trasformazione lineare....quindi dai....

Sono davvero due passaggini....se proprio non riesci sicuramente qualcuno te li scriverà ma prima vorrei vedere un po' di impegno

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Note

1. ovviamente il metodo "mnemonico" fa la stessa cosa ma ti dà già il risultato da applicare ↑

[eccelsius]

Scusami ma davvero non capisco quello che hai fatto.
Probabilmente ci saranno delle mancanze nelle slide del prof ma tutto quello che so delle v.a. continue prima che nelle slide venga presentato questo esercizio è:

$X$ v.a. continua se $X:\Omega\rarrIm(X)$ con $Im(X)$ che ha cardinalità non numerabile;

$p_X$ densità di probabilità $p_X:Im(X)\rarrRR$ tale che $AA a,b in Im(X)$ si ha $P(a<=X<=b)=\int_a^bp_X(x)dx$

$\int_(Im(X))p_X(x)dx=1$

$AA a,x in Im(X)$ si ha $p_X(x)=d/(dx)(\int_a^xp_X(y)dy)=d/(dx)P(a<=X<=x)$

Quindi del tuo svolgimento non ho capito un paio di cose:
cos'è la CDF $F_Y(y)$? Ho visto ora su internet che è la funzione di ripartizione ma come detto sopra non è accennata da nessuna parte, neanche nelle slide successive e quindi non ho neanche capito perchè hai preso in esame $(p_Y<=y)$
il metodo mnemonico di cui parli quale sarebbe?
io ho provato a calcolare $p_X$ utilizzando la formula $p_X(x)=d/(dx)(\int_a^xp_X(y)dy)=d/(dx)P(a<=X<=x)$ ma non saprei quali $a$ e $x$ scegliere perchè se metto gli estremi di Im(X) l'integrale sarà sempre uguale ad 1.

[tommik]

Se la trasformazione è monotona (come nei tuoi casi) è noto che

$f_Y(y)=f_(X)[g^(-1)(y)]|d/(dy)g^(-1)(y)|$

Nel tuo caso $f_(X)(x)=1$quindi per calcolare la densità delle due variabili basta fare la derivata, presa in valore assoluto, della funzione di trasformazione (invertita) ottenendo

$f_(Y)(y)=1/(2sqrt(y))I_([0;1])(y)$

$f_(Z)(z)=1/4 I_([-3;1])(z)$

Allo stesso risultato arrivi calcolando la funzione di ripartizione e poi derivandola :


$F_(Y)(y)=P(X^2<=y)=P(X<=sqrt(y)))=F_X(sqrt(y))=sqrt(y)$

Derivi ed ottieni la densità cercata

Se le slide del professore sono lacunose guarda qui, lesson 22 che è tutto spiegato benissimo ed in modo estremamente elementare.

[eccelsius]

Mi sa che mi tocca studiare dalle fonti che mi hai passato. Definire le slide del mio professore lacunose è un eufemismo, per non parlare delle sue lezioni Grazie ancora