Combinazione di variabili aleatorie gaussiane indipendenti

[l_ale13]

Si assuma che X e Y siano variabili aleatorie distribuite secondo leggi gaussiane identiche e indipendenti con media pari a 0 e varianza pari a 2. Sia $ R = sqrt(X^2 + Y^2) $:
a) quanto vale la probabilità che R sia maggiore di .65 ?
b) Determinare il valore r cui risulta P(R<r) = 0.5

Ho qualche problema a risolverlo perchè non so come affrontare l'elevamento a potenza delle variabili aleatorie e il fatto che la loro somma sia sotto radice.
Avete qualche idea?

[tommik]

Avete qualche idea?

Passa in coordinate polari e vedrai che il calcolo delle probabilità richieste è davvero facile

Ciao

[l_ale13]

Grazie della risposta ma non abbiamo mai usato questo metodo, mi può fare un esempio di come si fa a scrivere in coordinate polari una variabile aleatoria?

[tommik]

... mi può fare un esempio di come si fa a scrivere in coordinate polari una variabile aleatoria?

No. Il passaggio da coordinate cartesiane a polari è programma di Analisi Matematica di base. Che studi fai?


Se non hai mai visto una trasformazione di variabile con il metodo dello jacobiano (cosa che mi pare molto strana, dato che è programma di base di qualuque corso di probabilità) esistono altre vie:

Ad esempio puoi partire da qui:

$X^2+Y^2=2[(X/sqrt(2))^2+(Y/sqrt(2))^2]=2W$

Scritta in questo modo dovrebbe essere evidente che la variabile $W$ si distribuisce come un'esponenziale negativa di parametro $1/2$. A questo punto è facile anche calcolare la distribuzione di $Z=sqrt(X^2+Y^2)=sqrt(2W)$ con una semplice trasformazione monotòna.

Ora non ci dovrebbero essere più dubbi; in caso contrario posta ciò che sei riuscito a fare e vediamo dove ti blocchi in modo da risolvere insieme.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ovviamente io preferisco l'approccio che ti ho indicato all'inizio, calcolando subito la distribuzione del raggio del sistema di rifermento cartesiano tramite trasfomazione del vettore aleatorio in coordinate polari e trovando, in pochi ed elementari passaggi, i seguenti risultati:

$P(R>0.65)~~0.9$

$F_(R)^(-1)(1/2)=2sqrt(log2)$

[l_ale13]

Non so veramente cosa dire, faccio statistica e informatica e il corso di probabilità secondo me non è stato svolto al meglio, infatti questo compito ce lo ha dato il prof di inferenza, non saprei nemmeno come risolvere il fatto che 2W sia sotto radice. Io in realtà avevo pensato a un modo molto strano di vedere le variabili, siccome identiche, come 2X^2 e dopo annullare la potenza sulla X siccome c'è la radice ma mi sembra molto sforzata come cosa

[tommik]

Non so che dire...sono proprio le basi di calcolo delle probabilità.

$P(Z<=z)=P(sqrt(2W)<=z)=P(W<=z^2/2)=1-e^(-z^2/4)$

Quindi $P(Z>0.65)=e^(-(0,65)^2/4)=0,9$

Ammesso che Il resto sia chiaro.....soprattutto se è chiaro perché $W$ è un'esponenziale di media 2.

Purtroppo se il corso non l'hai ben compreso ti tocca riaprire i libri...qui ci sono numerosi esercizi e persone sicuramente competenti...di più non posso fare.

Ah ho scritto $Z$ invece di $R$ ma fa lo stesso

Ricorda anche di inserire le formule in modo leggibile, non come i geroglifici del tuo precedente post di oggi....

[l_ale13]

Scusa, in realtà sapevo fare quel passaggio mi sono solo un attimo lasciato prendere dal panico, purtroppo non è che non ho compreso queste cose ma proprio non le abbiamo fatte (per esempio perchè W è un'esponenziale), il prof però le prende per fatte quindi mi metterò sotto per recuperare, grazie mille lo stesso.

[tommik]

Domani (tempo permettendo) provo a mettere tutta la spiegazione completa... ma è una cosa mooolto lunga

Inizia a guardare:

- come si distribuisce il quadrato di una gaussiana standard

- come è definita una distribuzione $chi^2$

- cosa è una funzione generatrice dei momenti

- come si definisce una distribuzione Gamma

- come si definisce una distribuzione esponenziale

- come si definisce una distribuzione Rayleigh

- come si fa il cambio di variabile in un vettore aleatorio

Mi pare che per stasera basti così

Trov tutto in rete ed anche qui nel Forum

[l_ale13]

Se riesci ti ringrazierei moltissimo, almeno avrei una base da dove partire.

[tommik]

Come promesso ecco una dettagliata spiegazione del costrutto teorico sottostante alla soluzione del problema:

SOLUZIONE 1: livello base

Il punto di partenza è capire come si distribuisce il quadrato di una gaussiana standard:

Sia dunque

$X~N(0;1)$

Come si distribuisce $Z=X^2$?

Al solito, con la definizione, troviamo che¹

$F_Z(z)=P(Z<=z)=P(X^2<=z)=P(-sqrt(z)<=X<=sqrt(z))=Phi(sqrt(z))-Phi(-sqrt(z))$

Deriviamo², ottenendo la densità di Z

$f_Z(z)=1/(2sqrt(z))phi(sqrt(z))+1/(2sqrt(z))phi(-sqrt(z))=1/sqrt(pi)1/sqrt(2)1/sqrt(z)e^(-z/2)=(1/2)^(1/2)/(Gamma(1/2))z^(1/2-1)e^(-z/2)$

dove riconosciamo subito una distribuzione $"Gamma"(1/2;1/2)$, altrimenti detta "chi quadro" con 1 gdl. Al denominatore troviamo la nota funzione Gamma di Eulero

Ricordando le proprietà della densità Gamma, la somma di k variabili iid $"Gamma"(n,theta)$ si distribuisce come una $"Gamma"(nk,theta)$ e si dimostra davvero banalmente con l'utilizzo della funzione generatrice dei momenti o funzione caratteristica, come preferisci

In poche parole, osservando che

$X^2+Y^2=2[(X/sqrt(2))^2+(Y/sqrt(2))^2]$

si vede subito che dentro le parentesi quadre c'è la somma di due normali standard (sono due gaussiane a media zero divise per la loro deviazione standard) indipendenti al quadrato, ovvero è la somma di due chi quadro con un grado di libertà, ovvero la somma di due densità gamma iid di parametri $(1/2;1/2)$ che, per quanto detto, danno come risultato una densità $"Gamma"(1;1/2)$ o, ciò che è lo stesso, una $chi_((2))^2$

Tale densità, ha la seguente forma analitica

$(1/2)^1/(Gamma(1))w^(1-1)e^(-w/2)=1/2e^(-w/2)$

In pratica è un'esponenziale di parametro $1/2$

A questo punto trasformi la variabile come ti ho spiegato qui e risolvi.

SOLUZIONE 2: livello intermedio

Vediamo, dalla seguente figura, come la variabile $R=sqrt(X^2+Y^2)$ sia il raggio di una circonferenza come quella rappresentata in figura



Ora, dato che le due variabili di partenza X,Y sono gaussiane indipendenti di media zero e varianza $sigma^2=2$ abbiamo subito la densità congiunta ottenuta come prodotto delle densità marginali:

$f_(XY)(x,y)=1/(2*2pi)e^(-(x^2+y^2)/4)$

Trasformiamo tale vettore aleatorio in coordinate polari con il consueto cambio di variabili

${{: ( x=rcos(theta) ),( y=rsin(theta) ) :}$

Ottenendo³

$f_(ThetaR)(theta,r)=1/(2pi)*r/2e^(-r^2/4)$

notiamo subito che la densità congiunta in oggetto è il prodotto di due densità (quindi anch'esse stocasticamente indipendenti)

$f_(Theta)(theta)=1/(2pi)$ che è la densità dell'angolo, una uniforme in $[0;2pi]$

$f_(R)(r)=r/2e^(-r^2/4)$

che è una densità di Rayleigh di parametro $sigma=sqrt(2)$ ed è la densità cercata della variabile $R=sqrt(X^2+Y^2)$

...da cui si trovano immediatamente tutte le soluzioni in modo banale.

SOLUZIONE 3: livello alto

Basta usare la definizione di Variabile aleatoria Rayleigh (clicca sull'ìmmagine per ingrandirla)⁴



Nota la distribuzione finale il problema è esaurito.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Dopo questo mio impegnativo sforzo nel cercare di mostrarti le basi del calcolo, mi auguro che al tuo prossimo eventuale topic, tu sia almeno in grado di scrivere un messaggio con le formule comprensibili, non come questo obbrobrio, per intenderci.

Inoltre, se devi fare un po' di inferenza, di sconsiglio vivamente di continuare se prima non hai ben studiato la parte precedente (poco importa se sei tu a non averla studiata o se il corso che hai seguito è stato svolto in modo insufficiente): senza le basi del calcolo puoi lasciar perdere l'inferenza perché sarebbe un bagno di sangue.

buon lavoro

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Note

1. con $Phi(x)$ indico la Funzione di Ripartizione (funzione integrale) di una Gaussiana standard, con $phi(x)$ la sua densità (la derivata di $Phi(x)$) ↑
2. ricorda che la densità in oggetto è simmetrica rispetto a zero e quindi $phi(a)=phi(-a)$ ↑
3. ricordando che in questo caso lo jacobiano vale $r$ ↑
4. inserire immagini al posto del testo o delle soluzioni è vietato, quindi non farlo; io l'ho fatto solo e soltanto per farti vedere che basta leggere sui libri le definizioni necessarie. ↑