Approssimazione

[vitomondelli]

Salve a tutti ho questi due quesiti di probabilità e mi chiedevo se potesse darmi una mano:
1)Data la v.a. X binomiale con n = 1000 e p = 0.003, calcolare con l'approssimazione di Poisson la probabilità P{2$<=$X$<=$4};
2)La v.a. Yn è somma di n = 64 numeri aleatori indipendenti, identicamente distribuiti, ciascuno con attesa $\mu$ = $1/2$ e varianza $\sigma^2$ = $1/16$. Facendo uso dell'approssimazione normale, calcolare la probabilità che il valore di Yn cada fra 34 e 36.
Per il problema numero 1 ho calcolato $\lambda$$=np=1000*0.003=3$ quindi
$P{2<=X<=4}=P{X=2}+P{x=3}+P{X=4}=e^-3(3^2/(2!)+3^3/(3!)+3^4/(4!))=0.616 $(risultato confermato dal libro)
Ho fatto qualche errore a fare cosi i calcoli?
Per il problema numero 2 non ho molte idee su come procedere, oltre a dividere la probabilità nello stesso modo, cioè:
$P{34<=Yn<=36}=P{X=34}+P{x=35}+P{X=36}$
Qualche aiuto?

[tommik]

il primo va bene.

Per il secondo inizia a ragionare così: se le 64 variabili sono indipendenti, la loro somma avrà come media la somma delle medie e come varianza la somma delle varianze.

A questo punto hai una variabile Gaussiana di media $mu=64/2=32$ e varianza $sigma^2=64/16=4$

Non ti resta che standardizzare e calcolare la probabilità richiesta con l'uso delle tavole.

ATTENZIONE!: se le variabili fossero discrete (la traccia non lo specifica) per avere un'approssimazione più fine occorrerebbe applicare un "fattore di correzione", ma dipende anche da cosa stai studiando, non in tutti i corsi di laurea viene spiegato (questo me lo devi dire tu)

Nota:la traccia è un po' vaga; oltre a non specificare se le variabili in questione sono discrete o no, la frase: "cada fra 34 e 36" non sempre significa 34 e 36 inclusi.....

Se posti anche il risultato del libro vediamo che cosa intende il testo....

[vitomondelli]

Grazie per la risposta rapida. Allora il libro mi dice che il risultato è $P{34≤Yn≤36}=0.136$. Guardando meglio la parte di teoria non ho trovato esempi da cui capirci di più ma solo la formula che sarebbe $\Phi((x-n\mu)/(\sigmasqrt(n)))$ che se non sbaglio a usare diventa $\Phi((x-64*32)/(4sqrt(64)))$. Scusate e la prima volta che vedo un esercizio del genere è non sono un gran chè in questa materia

[tommik]

Quindi non usa alcun fattore di correzione.....ancora più semplice

Come ti ho detto, la media della somma delle variabili è 32 mentre la loro varianza è 4

Ora non ti resta che standardizzare come sai $Z=(X-mu)/sigma$ ottenendo

$P{34<=X<=36}=Phi[(36-32)/2]-Phi[(34-32)/2]=Phi(2)-Phi(1)=0.977-0.841=0.136$

leggendo ovviamente i risultati sulle tavole della Gaussiana standard

La formula che hai copiato dal libro è giusta ma la hai applicata male: $mu=1/2$ mentre $sigma=1/4$...oppure ragioni come ti ho spiegato io nel mio precedente intervento....è la stessa cosa

Se vuoi esempi pratici e dettagliatamente spiegati basta che cerchi nel forum. Come chiave di ricerca puoi usare Teorema Limite Centrale. Ci sono centinaia e centinaia di esempi che ho personalmente svolto e commentato.

[vitomondelli]

Non mi è chiara una cosa. Hai usato la formula $Z=(X−\mu)/\sigma$ perchè le variabili non sono discrete? Grazie mille per la risposta!

[tommik]

no quella è la standardizzazione che si usa sempre per poter usare le tavole. Se le variabili fossero discrete si renderebbe necessario anche un fattore di correzione (che puoi trovare ben spiegato qui sul forum¹)

Per calcolare la probabilità di una gaussiana occorrerebbe risolvere l'integrale della sua densità...ma tale integrale non si può calcolare esplicitamente. Quindi si ricorre all'uso delle tavole che danno i valori di probabilità per una Gaussiana Standard: $N(0;1)$

se $X~N(mu;sigma^2)$ è facile dimostrare che $Z=(X-mu)/sigma~N(0;1)$

ahiahiahi.....prima di fare gli esercizi occorre studiare un po' di teoria......

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Note

1. ho fatto una prova, inserendo nella casella di ricerca i termini teorema limite centrale mi sono usciti 389 risultati.....hai voglia a leggere.... ↑

[vitomondelli]

Hai ragione, purtroppo tendo sempre a tuffarmi negli esercizi. Cercherò di ripassare quanto più possibile. Grazie per l'aiuto.