Esercizio processo di Poisson

[VittCon]

Salve a tutti, mi trovo a risolvere questo esercizio che mi sta creando non pochi problemi :
In una banca i clienti arrivano secondo un processo di Poisson di parametro $\lambda$. I clienti si dividono in uomini e donne, i primi con probabilità p ( quindi secondo una Bernoulli : $\mathbb{P}$(uomo)=p, $\mathbb{P}$(donna)= 1- p). Qual è la probabilità che al tempo t=10 siano arrivati 2 uomini sapendo che in totale al tempo t=10 sono arrivati 5 clienti di cui 2 nell'intervallo [3,7] (t$\in$[3,7])?

Alcune cose note:
1) detto N(t) un generico processo di Poisson si sa che $\mathbb{P}$(N(s)|N(t)=n) è distribuito come un Binomiale(n, s/t).

2)Dato in questo caso particolare il processo di Poisson N(t)~PP($\lambda$t) per lo splitting i due sottoprocessi M(t)= # di uomini che arrivano e F(t)= # di donne che arrivano, sono due processi indipendenti e sono inoltre due processi di Poisson : M(t)~PP(p*$\lambda$t) e N(t)~PP((1 - p)*$\lambda$t)

3) Nel mio caso specifico p non è costante ma vale : p=1/3 sull'intervallo [0,6); p=1/4 sull'intervallo [6,10] . Questo genera due sottoprocessi di Poisson non omogenei, di cui il primo M(t) con parametro $\lambda$*$\int$p(s)ds (integrale da 0 a t).

4) Sono riuscito a calcolare $\mathbb{P}$(N(10)=5|N(7-3)=2) = $\mathbb{P}$(N(10)=5|N(4)=2) = $\mathbb{P}$(N(10)=5 - N(4)=2|N(4)=2) = $\mathbb{P}$(N(10)=5 - N(4)=2) = $\mathbb{P}$(N(10) - N(4)=5 - 2) = $\mathbb{P}$(N(6)=5 - 2).


Per rispondere alla domanda sono arrivato alla conclusione di dover calcolare : $\mathbb{P}$(M(10)=2|N(10)=5,N(7-3=4)=2). E' corretta questa cosa e nel caso in cui lo fosse come posso calcolare tale probabilità? Applico la legge di Bayes ma arrivo ad un punto cieco in cui comunque non riesco a trovare le probabilità richieste.


Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille, spero di poter ricambiare il favore

[Euclidino]

Qual è la probabilità che al tempo t=10 siano arrivati 2 uomini sapendo che in totale al tempo t=10 sono arrivati 5 clienti di cui 2 nell'intervallo [3,7] (t$\in$[3,7])?
2)Dato in questo caso particolare il processo di Poisson N(t)~PP($\lambda$t) per lo splitting i due sottoprocessi M(t)= # di uomini che arrivano e F(t)= # di donne che arrivano, sono due processi indipendenti e sono inoltre due processi di Poisson : M(t)~PP(p*$\lambda$t) e N(t)~PP((1 - p)*$\lambda$t)

Sia $0 \leq r \leq s \leq t$ e tré numeri interi $k\leq n$, $m \leq n$. Se p è costante, mi sembra que $\mathbb{P}$(M(t)=k|N(t)=n, N(s)-N(r)=m) non dipenda da r o s (ma non ho una semplice dimostrazione di questa proprietà). Quindi, ponendo r=s, abbiamo $\mathbb{P}$(M(t)=k|N(t)=n, N(s)-N(r)=m) = $\mathbb{P}$(M(t)=k|N(t)=n), che è facile da calcolare.

3) Nel mio caso specifico p non è costante

Mi sembra molto difficile senza l'aiuto di un computer.

[VittCon]

Sapresti consigliarmi qualche software per il calcolo e nel caso consigliarmi come su come procedere? Io conosco le basi di R ma sinceramente non saprei da dove partire per calcolare una probabilità condizionata.

[VittCon]

Sia $0 \leq r \leq s \leq t$ e tré numeri interi $k\leq n$, $m \leq n$. Se p è costante, mi sembra que $\mathbb{P}$(M(t)=k|N(t)=n, N(s)-N(r)=m) non dipenda da r o s (ma non ho una semplice dimostrazione di questa proprietà). Quindi, ponendo r=s, abbiamo $\mathbb{P}$(M(t)=k|N(t)=n, N(s)-N(r)=m) = $\mathbb{P}$(M(t)=k|N(t)=n), che è facile da calcolare.

Scusami ancora ma quando dici questo, come faccio a calcolare $\mathbb{P}$(M(t)=k|N(t)=n)?
Perchè se quello che dici è vero, io potrei spezzare il mio intervallo [0;8,5] in due sottointervalli disgiunti (e precisamente nel punto in cui la funzione p ha un salto; p è definita a tratti) e su ognuno applicare lo stesso ragionamento.
Grazie mille della disponibilità

[Euclidino]

come faccio a calcolare $\mathbb{P}$(M(t)=k|N(t)=n)?

$\mathbbP(M(t)=k\|N(t)=n) = \frac{\mathbbP(M(t)=k \cap N(t)=n)}{\mathbbP(N(t)=n)} = \frac{\mathbbP(M(t)=k \cap F(t)=n-k)}{\mathbbP(N(t)=n)}=\frac{\mathbbP(M(t)=k) \mathbbP(F(t)=n-k)}{\mathbbP(N(t)=n)}= \cdots$

Sapresti consigliarmi qualche software per il calcolo e nel caso consigliarmi come su come procedere? Io conosco le basi di R ma sinceramente non saprei da dove partire per calcolare una probabilità condizionata.

Non conosco R. Ho scritto un programma per calcolare il numeratore e il denominatore della probabilità condizionale. Abbiamo :
$\mathbbP(M(10)=2\| N(10)=5, N(7)-N(3)=2) = \frac{\mathbbP(M(10)=2, N(10)=5, N(7)-N(3)=2)}{\mathbbP(N(10)=5, N(7)-N(3)=2)} = \frac{nmP}{dnP}$
con
$nmP = \sum \mathbbP(M(3)=m_3, M(6)-M(3) = m_{36}, M(7)-M(6) =m_{67}, M(10)-M(7)=m_{710}, F(3)=f_3, F(6)-F(3) = f_{36}, F(7)-F(6) =f_{67}, F(10)-F(7)=f_{710})$
e
$dnP = \sum mathbbP(N(3)=n_3, N(6)-N(3) = n_{36}, N(7)-N(6) =n_{67}, N(10)-N(7)=n_{710})$
dove nelle somme, gli indici variano in modo tale che abbiamo :
$m_3+m_{36}+m_{67}+m_{710}=2$ numero di uomini
$m_3+f_3=n_3$ numero di clienti in [0,3]
$m_{36}+f_{36}=n_{36}$ numero di clienti in [3,6]
$m_{67}+f_{67}=n_{37}$ numero di clienti in [6,7]
$n_{36}+n_{37}=2$ numero di clienti in [3,7]
$m_{710}+f_{710}=n_{710}$ numero di clienti in [7,10]
$n_3+n_{36}+n_{67}+n_{710}=5$ numero di clienti in [0,10]

È utile notare che le potenze del $e^{-\lambda}\lambda$ sono semplificate tra il numeratore e il denominatore. Contono solo le potenze degli altri termini. Ad esempio, programmo il calcolo del denominatore in questo modo :

dnP:=0:
for N3 from 0 to 3 do
for N36 from 0 to 2 do
N67:=2-N36:
N710:=3-N3:
dnP:=dnP+3^N3/N3!*3^N36/N36!*1^N67/N67!*3^N710/N710!:
od:
od:

[VittCon]

Grazie mille!!!! L'ho scritto in matlab e ho ottenuto un risultato attendibile
Gentilissimo davvero