[EX]: teorema di Bayes

[tommik]

Supponiamo di avere 3 sacchetti, A,B,C contenenti rispettivamente 3,3, e 5 monete d'oro. Solo una delle 11 monete è di oro vero, le altre sono delle patacche. Estraiamo una moneta da ogni sacchetto e vediamo che sono tutte e 3 false.

Domanda: l'estrazione è stata del tutto inutile per scoprire dove si celerebbe la moneta d'oro oppure abbiamo acquisito utili informazioni? In questo ultimo caso, quante estrazioni da ogni sacchetto (con reimmissione, e tutte senza trovare la moneta d'oro) ci servono per decidere (in modo bayesiano) quale sacchetto acquistare?

[EDIT]: Supponiamo che, a priori, la probabilità che la moneta sia in uno qualsiasi dei 3 sacchetti sia uniforme.

Hint: il titolo del thread

[Euclidino]

Sia X il nome della borsa dove si trova la moneta d'oro (X=A, o X=B, o X=C).
Sia F l'evento: si estrae da ogni borsa una patacca.
Traduci il tuo enuciato come probabilità o probabilità condizionale da X e F.

Manca di informazioni, la legge di X. In effetti, ci sono due modi per riempire inizialmente i sacchetti, dando due diverse leggi per X:
O per prima cosa mettiamo la moneta d'oro in una delle borse a caso, quindi completiamo ogni borsa con patacche.
O mescoliamo un pezzo di oro e 10 patacche, quindi inseriamo 3 monete in A, 3 in B, 5 in C.
Dicci qual è il processo che sembra appropriato al tuo problema.

[tommik]

Premesso che l'ho inventato, mi pare non manchi nulla. Forse mi sono solo spiegato male. Provo quindi a spiegare meglio cosa intendo.

Abbiamo 3 sacchetti, A,B,C, contenenti rispettivamente 3,3 e 5 monete. sappiamo con certezza che una sola moneta è d'oro ed è stata inserita in un sacchetto dei tre.

ES: trovare la moneta nel primo sacchetto dato che la moneta è proprio lì è $1/3$. formalmente hai:

$X_(ij)$ è l'esito della $j-"esima "$ estrazione dal sacchetto $i=A,B,C$. Tale esito può essere 1 se trovo la moneta oppure 0 se non la trovo.

Quindi, ad esempio

$P{X_(Aj)=1|"la moneta è davvero in A"}=1/3$, $AAj=1,2,...$

$P{X_(Aj)=0|"la moneta non è in A"}=1$

ecc ecc

L'esercizo ha uno scopo puramente didattico e dovrebbe servire a spiegare che, anche con una o più estrazioni senza apparente risultato, le informazioni iniziali di totale ignoranza (la probabilità che la moneta sia in A, B, o C è evidentemente identica e pari a $1/3$) vengono arricchite dall'esperienza dei dati che modificano la probabilità finale

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Indicando con $E$ l'evento: l'estrazione di una moneta da ogni sacchetto dà come risultato 3 monete false, otteniamo la seguente distribuzione di probabilità a posteriori

$P(A|E)prop 1/3*2/3$

$P(B|E)prop 1/3*2/3$

$P(C|E)prop 1/3*4/5$

che normalizzando porge

$P(A|E)=31.25%$

$P(B|E)=31.25%$

$P(C|E)=37.5%$

e come si vede, il risultato dell'estrazione ha modificato le 3 probabilità a priori. Per poter decidere quale sacchetto acquistare (ragionando in modo bayesiano) occorrono almeno 4 estrazioni senza risultato apparente, e ciò in quanto

$(4/5)^n/(2*(2/3)^n)>1 rarr n>3.8=4$

Questo per lo meno era ciò che intendevo; in sostanza, se si hanno almeno 4 estrazioni senza risultato, il candidato più papabile è il sacchetto con più monete che ha una probabilità a posteriori di contenere la moneta d'oro maggiore del 50% rispetto alla probabilità che la moneta si trovi altrove.
Il modo in cui si compongono i sacchetti non mi pare sia influente ai fini del ragionamento (ma ovviamente posso sbagliare)

[Euclidino]

Premesso che l'ho inventato...

Non avevo capito che stavi proponendo un esercizio. Pensavo avessi chiesto aiuto per risolverlo.

L'esercizo ha uno scopo puramente didattico e dovrebbe servire a spiegare che, anche con una o più estrazioni senza apparente risultato, le informazioni iniziali di totale ignoranza, vengono arricchite dall'esperienza dei dati che modificano la probabilità finale

Sono d'accordo con te. Il tuo esercizio è molto interessante.

la probabilità che la moneta sia in A, B, o C è evidentemente identica e pari a $1/3$

.

`E vero se, inizialmente, mettiamo la moneta di oro in una delle borse a caso, e completiamo ogni borsa con patacche. Ma non è vero se mescoliamo una moneta di oro e 10 patacche, e inseriamo 3 monete in A, 3 in B, 5 in C.

[tommik]

Perfetto. Grazie dei commenti.....allora modifico il testo in modo inequivocabile: si suppone che, a priori, la probabilità che la moneta d'oro sia in uno qualunque dei sacchetti è uniforme.

PS: quando si mette [EX] nel titolo si intende proprio questo: si sta scrivendo un esercizio affinché chi è interessato al problema ci si possa cimentare.

[Euclidino]

quando si mette [EX] nel titolo si intende proprio questo: si sta scrivendo un esercizio affinché chi è interessato al problema ci si possa cimentare.

Ho capito. Mi scusi.