Catena di Markov e media ! ! ! (Es quasi finito)

[Giova411]

SOLUZIONE:

a) Lo stato del sistema è dato dal numero di palline nere nell'urna perché le rosse sono fisse. Le palline nere variano senza dipendere dal passato ma dallo stato attuale (assenza di memoria).

b) Per descrivere gli stati ho fatto una sorta di automa:

Da questo poss creare la matrice di transizione della catena di Markov:
$P= ((2/5, 3/5, 0, 0 ), (1/2 , 0, 1/2,0), (0, 2/3, 0, 1/3), (0,0, 1, 0) )$

c) Non sono sicuro: ho moltiplicato i "rami alti" dell'automa. Il percorso porta ad avere solo rosse: $3/5*1/2*1/3 = 1/10$
Ma come trovo lo stato iniziale? (Penso di iniziare dalla prima riga della matrice) Dovrei avere un vettore, giusto?
d) La misura invariante è $t = {10/34,12/34, 9/34, 3/34}$ e l'ho trovata risolvendo il sistema dato dalla matrice.
Ora come si calcola la media a regime?

[clrscr]

ciao sono nuovo di questo forum...vediamo se riesco a darti una mano...
allora:
per trovare la media a regime penso tu debba fare:
chiamo $t=(π1,π2,π3,π4)$ dunque la media sarà

$ E[sistema] =( A*π1 + B*π2 +C*π3 +D*π4) $

i coefficienti A,B,C,D sono gli stati del sistema nonchè il numero di palline nere presenti nel sistema....

[Giova411]

ciao sono nuovo di questo forum...vediamo se riesco a darti una mano...
allora:
per trovare la media a regime penso tu debba fare:
chiamo $t=(π1,π2,π3,π4)$ dunque la media sarà

$ E[sistema] =( A*π1 + B*π2 +C*π3 +D*π4) $

i coefficienti A,B,C,D sono gli stati del sistema nonchè il numero di palline nere presenti nel sistema....

Ciao!
Benvenuto e grazie per la risposta!

Dici di calcolarla così?
$3*(10/34)+2*(12/34)+1*(9/34)+0*(3/34) = 63/34 $

[clrscr]

Si,anche perchè quella è la definizione di valore atteso. Non vedo altre possibilità... ciao!!

[Giova411]

Ho visto il risultato: la media a regime (che non so che vuol dì) è di circa: $3.85$

Ma lo stato iniziale $pi_0$ come si calcola?

[Giova411]

Ancora non ci sono col risultato che dà il prof.
Forzando un po' per ottenere il risultato bisognerebbe fare:
$2 + [ 3*(10/34)+2*(12/34)+1*(9/34)+0*(3/34) ]= 2 + 63/34 = 131/34 = 3.85$

Ma, se così fosse esatto, perché quel $2$ che somma la "media classica"? Sarà mica per la prima identità di Wald?
(Mi perseguita sto Wald )


Mi affido agli esperti come sempre...

[clrscr]

ciao allora per trovare lo stato iniziale π0(che sarebbe π1 sritto da me in precedenza) si trova effettuando il seguente calcolo:

$ (π0,π1,π2,π3)= (π0,π1,π2,π3) * P$ dove P è la matrice di transizione.

Nella risoluzione di tale sistema devi aggiungere un'equazione cioè:

$π0 + π1 + π2 + π3 =1$ in quanto il sistema precedente non è risolubile.

Ora esprimendo tutte le probabilità asintottiche in funzione di π0 e successivamente applicando la relazione sopra riportata si ottiene lo stato iniziale...

M sorge una perplessità..In quel vettore "t" come hai fatto a calcolare la prima componenete?[/code]

[Giova411]

CIao!
Il sistema che dici l'ho già fatto proprio per trovare t che è il vettore fisso della catena.
Lo stato iniziale dovrebbe essere del tipo ${0,0, .. , 1}$ cioé con un uno e tutti zero messi in un opportuno ordine. (Mi sembra di averli visti così su qualche esempio)

[Giova411]

Lo stato iniziale credo sia $pi_0={1,0,0,0}$ dove l'ordine è, vedendo l'automa di sopra, ${A,B,C,D}$. Si parte da $A$ dove ci sono 3 nere.

Ora mi(ci) manca l'ultimo elemento del PUZZLE:
sto CACCHIAROLA di numero medio di palline presenti nell'urna a regime

PS 1: Escludo l'errore del prof. Sto prof non scherza, non sbaglia mai

PS 2: aiutatemi a dare un senso a sta JOURNATA....

[Giova411]

Forse ho un lampo (vabbé lampino dai). Non vuole sapere il numero medio di palline nere presenti che giustamente verrebbe $63/34=1.85$.
Chiede il numero medio di palline presenti nell'urna (sì, dice "a regime" che non so cosa vuol dire).
Non so bene come calcolarlo ma ad istinto dico che il nemero della soluzione è esatto ($3.85$) perché considera anche le rosse oltre alle nere.
Se ho sparato la C A G A T A della J O U R N A T A fermatemi per cortesia!
B.Notte Raga'