Problema di Probabilità (ma non ho i risultati)

[Giova411]

Ciao a tutti!

Ecco un altro problema che si risolve con Markov.

Non ho le soluzioni e nemmeno i risultati.
Appena posso lo provo a fare e scrivo la mia soluzione... Ci provo dai

[Giova411]

E' troooppo strano sto problema. Non riesco!

La matrice potrebbe essere questa?

$T=((0, 1/3, 1/3, 1/3),(1/4, 1/4, 1/4, 1/4),(1/4, 1/4, 1/4, 1/4),(1/3, 1/3, 1/3, 0))$

Se è questa sono cavoli amari. Il sistema per trovare la legge invariante diventerebbe difficilissimo.
Se il tutto inizia con il turno N (non si capisce bene) il vettore iniziale potrebbe essere $pi_0 = {1,0,0,0}$
La probabilità chiesta (riguardante i turni di Riccardo) potrebbe essere scritta così: $P(X_1=N|X_0=N) = P(X_1=0|X_0=0) = 0 $ allora farebbe zero... Poi la media (la prima richiesta) farei semplicemente: $1000/4=250$

E che vi devo dì?! Stavolta senza di voi non ce la farò mai a risolverlo.
Sperando qualche consiglio vi ringrazio anticipatamente.

[luca.barletta]

La matrice va bene, ma direi che $pi_0={1/4,1/4,1/4,1/4}$, perché essendo i 1000 operai distribuiti a caso nei primi 4 turni, Riccardo capiterà con prob 1/4 in ognuno dei 4 turni. (io lo interpreto così il testo)

[Giova411]

Luca meno male che ci sei!

Allora lo stato iniziale cambia come dici tu. Il testo lascia dubbi... Se la matrice è quella allora è regolare perché è irriducibile ed ha sulla diagonale principale almeno un elemento diverso da zero. E' irriducibile perché N->M->P->S->N cioé comunicano tutti. Tra l'altro è regolare e aperiodica perché $T^2$ avrà tutti gli elementi >0.
Quindi la prima media (delle due richieste) è quella che avevo innocentemente sparato: $1000/4=250$
Ma ora con questa $T$ sono C A A A .... come farò a trovare la legge invariante? Sistemone fuori dalla mia portata!

[luca.barletta]

devi trovare $pi^*$ tale che $Tpi^*=pi^*$ ?

[Giova411]

Si quello. E' da panico con sta matrice.
Ma Aspé, se fa la N la prima non la farà la seconda. Bisogna andare a vedere tutte le possibili assegnazioni del primo turno (con prob $1/4$)?
Mi spiego:
se fa la N alla prima sarà 0 di fare N alla seconda
se fa la M alla prima sarà 1/4 di fare N alla seconda
se fa il P alla prima sarà 1/4 di fare N alla seconda
se fa la S alla prima sarà 1/3 di fare N alla seconda
Quindi potrebbe essere $1/4*(0+1/4+1/4+1/3) = 5/24$

[luca.barletta]

In generale devi usare il th delle prob totali:
$P[S_2=X_1]=sum_i P[S_1=X_i]*T_(i1)$

dove in questo caso $X_1=N$, quindi quello che hai fatto va bene

[Giova411]

Scusa Luca son tornato ora...
Sono andato un'oretta a correre per sfogarmi (le pippe non bastano )

Quel punto è fatto allora. Grazie!
Hai qualche idea su quel $pi$ fisso da trovare. Forse il sistema può essere ridotto ma non trovo stati transitori.

[luca.barletta]

Secondo me non bisogna tanto andare lontano (non intendo la corsetta): prova a calcolare $T*pi_0$

[Giova411]

Secondo me non bisogna tanto andare lontano (non intendo la corsetta): prova a calcolare $T*pi_0$

Si perché durante la corsa non mi è venuto nessun lampo... (Te pareva... )

Moltiplicando il vettore iniziale con la matrice ottengo un altro vettore giusto?
Ma non so cosa sia