Esercizio su variabile casuale bivariata

[Lexor]

Ciao a tutti, non saprei come comportarmi con questo esercizio:

Sia $(X,Y)$ una v.c. bivariata con componente marginale $X ~ Bi(1, 1/2)$ (legge binomiale con indice n = 1 e parametro
p = 1/2) e distribuzioni condizionali ancora binomiali $Y|X = x ~ Bi(1 + 2x, 1/2)$, per $x in S_x$.
Si determino il supporto congiunto di $(X,Y)$, la funzione di probabilità congiunta di $(X, Y)$, il supporto marginale di Y, la funzione di probabilità marginale di Y. Si dica, motivando, se $(X, Y)$ ha componenti indipendenti. Si calcoli infine $P(XY > 0)$

Premetto che un esercizio del genere non ho problemi a farlo nel caso in cui la la distribuzione binomiale congiunta abbia n costante. In questo caso invece come mi devo comportare? Devo sostituire la x con il supporto della prima binomiale $(S_x = {0, 1})$ e avere due leggi $Bi(1, 1/2)$ e $Bi(3, 1/2)$ e calcolarmele normalmente oppure devo fare in un altro modo?

Nel caso invece in cui sia p ad essere variabile (es. $Bi(1, (1+x)/3)$), come mi devo comportare?

[Lexor]

Sfrutto come bozza di soluzione un esercizio molto simile con le stesse richieste ma dati differenti.
Qui ho $X~Bi(1,1/2)$ e $Y|X = x~Bi(1,1/2)$ come leggi binomiali
Qui posso trovare il supporto di $S_x$ che è ${0, 1}$ dato che n = 1 e posso calcolarmi le probabilità con la formula $(n, k) * p^k * q^(n-k)$ dove trovo $p_x(0) = 1/2$ e $p_x(1) = 1/2$
Da qui capisco che ci sono due distribuzioni condizionali $Y|X = 0$ e $Y|X = 1$ entrambe con legge binomiale $Bi(1, 1/2)$ e posso analogamente trovare il supporto $S_(Y|X=x) = {0, 1} $ e le rispettive probabilità che sono entrambe $1/2$.
Dopo di che faccio posso calcolarmi le varie probabilità congiunte.

Quello che però non ho capito (immagino che sia una stupidaggine, è che è il dubbio che non mi permette di capire e risolvere l'esercizio) è che devo guardare praticamente il risultato più grande delle due espressioni $1+2 * 0$ e $1 + 2*1$ (con $x=0$ e $x=1$) che è 3 e di conseguenza calcolarmi $Bi(3, 1/2)$ e fare nella stessa maniera della bozza?

Mi basta capire solo questo, il resto del problema mi è chiaro, ho solo copiato tutto il testo per essere il più chiaro possibile.

[tommik]

EDIT: l'esercizio in questione è piuttosto standard ma mi sembra interessante per chi si accinge a studiare probabilità elementare. Ritengo quindi opportuno postare una soluzione "estesa" e commentata, sperando possa essere utile a molti studenti.

Prima di tutto però un'osservazione: postare la bozza di soluzione di un altro esercizio non serve a nulla (soprattutto non serve a te per imparare). In questo secondo esercizio le variabili sono indipendenti quindi è un po' più facile. Comunque in entrambi i casi hai una marginale e l'altra condizionata; la distribuzione congiunta la trovi moltiplicando le due date. Nell'esercizio iniziale del topic trovi dunque:

$P_(XY)(x,y)=((1+2x),(y))(1/2)^(2+2x)\mathbb{1}_({0,1})(x)\mathbb{1}_({0,1,2,3})(y)$

....sommi rispetto a x e trovi l'altra marginale che puoi scriverein modo compatto (come ho fatto con la congiunta) oppure esteso:

$P_Y(y)={{: ( 0 , 1 , 2 , 3 ),( 5/16 , 7/16 , 3/16 , 1/16 ) :}$

Le variabili maginali sono indipendenti? No, evidentemente! Osserva che la variabile $X$ variando nel suo supporto modifica la probabilità di $Y$....quindi una variabile dipende dalle realizzazioni dell'altra.

Es: marginalmente $P(Y=2)=3/16$ mentre $P(Y=2|X=0)=0$ e ciò dimostra la non indipendenza.


La probabilità che $P(XY>0)$? E' necessario che sia X che Y lo siano....e quindi basta sommare tutte le coppie di interesse della congiunta $rarr P(XY>0)=P_(XY)(1,1)+P_(XY)(1,2)+P_(XY)(1,3)=7/16$

Alternativamente, puoi vedere la cosa anche in forma tabellare: ecco la tabella a doppia entrata dove puoi vedere TUTTI i risultati che richiede il problema, distribuzioni marginali, congiunta, supporti ecc ecc (qui la non indipendenza la vedi subito dato che hai alcune celle vuote nella distribuzione congiunta). Tale tabella la puoi ricavare facilmente con semplici considerazioni: la marginale X ce l'hai, ed è una bernulli di parametro $1/2$; data questa, l'altra è binomiale di parametro $n$ variabile...

(cliccami per ingrandirmi)


Ogni esercizio è a sé, occorre ragionare caso per caso

Nel caso invece in cui sia p ad essere variabile (es. $Bi(1, (1+x)/3)$), come mi devo comportare?

sempre nello stesso modo: studi la teoria ed applichi le proprietà note...avrai altri dati noti immagino; comunque è un altro esercizio, scrivi il nuovo testo in un nuovo topic e prova a risolverlo...

Ciao