Esercizio su stimatore non distorto per la varianza e test d'ipotesi

[GiorgioG]

Ciao, qualche indizio su come risolvere questo esercizio? Ho pensato di utilizzare la varianza campionaria come stimatore non distorto ma non saprei come effettuare la stima. Per testare l'ipotesi nulla si utilizza la verifica di ipotesi con varianza nota oppure non nota?

Per testare se in una popolazione normale la variabile X abbia media μ=10, contro l’ipotesi alternativa μ≠10, viene estratto dalla popolazione un campione di 16 unità ottenendo:

$∑x =168 $ $ ∑x^2 =1769.4 $

a. Proporre un opportuno stimatore non distorto per il parametro σ^2 e fornire una stima.
b. Testare l’ipotesi nulla a livello di significatività α=0,05.

[tommik]

Ho pensato di utilizzare la varianza campionaria come stimatore non distorto ma non saprei come effettuare la stima. Per testare l'ipotesi nulla si utilizza la verifica di ipotesi con varianza nota oppure non nota?

a) Giusto. La varianza campionaria (quella divisa per $(n-1)$, per intenderci) va bene perché è proprio lo stimatore non distorto della varianza della popolazione. Come effettuare la stima di $sigma^2$? calcolando appunto $S^2=0.36$. Hai tutti gli ingredienti per farlo: somma dei valori campionari, somma dei loro quadrati e $n$. Oltretutto tale stima ti serve anche per il test del punto successivo

b) E' un test di ipotesi sulla media di una normale con varianza non nota $rarr$ si usa la t di student oppure la gaussiana se $n$ è grande: $n>=32$

[GiorgioG]

Ok grazie, l'unica cosa è che a me la varianza campionaria viene 0.3375. Ho utilizzato la formula E($x^2$)-$[E(x)]^2$
E' giusta?

Per quest'altro esercizio invece il punto b come si risolve?

Per testare se in una popolazione la variabile X abbia media μ=4.5, contro l’ipotesi alternativa μ≠4.5, viene estratto dalla popolazione un campione di 169 unità ottenendo:
$∑ x = 811,2$ $∑(x − \bar x )^2= 2058$.

a. Proporre un opportuno stimatore non distorto per il parametro $σ^2$e fornire una stima.
b. Data la regione di accettazione [4.123;4.877] determinare l’errore di prima specie.
c. Testare l’ipotesi nulla a livello di significatività α=0,1.

[tommik]

Ok grazie, l'unica cosa è che a me la varianza campionaria viene 0.3375. Ho utilizzato la formula E($x^2$)-$[E(x)]^2$
E' giusta?

NO, quello è lo stimatore distorto. Tu invece devi calcolare $S^2=1/(n-1)Sigma_i[X_i-bar(X)]^2=0.36$

Puoi fare così: $S^2=1/(n-1)Sigma_i[X_i-bar(X)]^2=1/(n-1)[Sigma_iX_i^2-2bar(X)Sigma_iX_i+nbar(X)^2]=1/(n-1)[Sigma_iX_i^2-(Sigma_iX_i)^2/n]=$

$=1/15[1769.4-168^2/16]=0.36$

Oppure, visto che hai già calcolato $1/nSigma_i[X_i-bar(X)]^2$ moltiplichi lo stimatore distorto per $n/(n-1)$

$0.3375*16/15=0.36$

Per quest'altro esercizio invece il punto b come si risolve?

molto semplicemente, ricordando che l'errore di prima specie altro non è che il livello di significatività, $alpha$. In pratica, di solito ti dà $alpha$ e tu devi calcolare la regione di rifiuto / accettazione mentre stavolta ti dà lui la regione di accettazione e tu devi calcolare $alpha$

PS: nuovo esercizio, nuovo topic, bozza di soluzione ecc ecc

Un aiuto: tieni presente che in questo caso il testo non ti dice che la popolazione è Normale....ma ti dà un campione molto ampio: $n=169$ ergo, anche se la varianza non è nota....

[GiorgioG]

Quindi alfa è uguale alla probabilità che x sia compreso tra 4,123 e 4,877? Utilizzando poi la standardizzata z, posso trovare i valori nelle tavole? Usando questa volta la varianza $ S^2=1/(n)Sigma_i[X_i-bar(X)]^2$
$z=(x-μ)/sigma$

[tommik]

Quindi alfa è uguale alla probabilità che x sia compreso tra 4,123 e 4,877?

sei anche un po' sfortunato...o disattento....$alpha$ per definizione è la probabilità di rifiutare l'ipotesi, dato che l'ipotesi è vera....quindi è la probabilità che la statistica campionaria NON sia compresa in quell'intervallo.

Puoi sempre usare (anzi è meglio usare, anche se il risultato non cambia) il solito $ S^2=1/(n-1)Sigma_i[X_i-bar(X)]^2$. Ciò che ti aiuta è che, anche usando una stima invece del valore vero, puoi usare le tavole della Gaussiana invece della t di student.

la soluzione è questa:

$alpha=2xxPhi((4.123-4.5)/(3.5)sqrt(169))=2xx0.08=16%$

Puoi anche fare come volevi fare tu, ma con una certa attenzione: calcoli la probabilità che la statistica campionaria¹ sia compresa in quell'intervallo e poi ne prendi il complemento a uno...prova, ti deve tornare lo stesso risultato che viene a me.

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Note

1. attenzione a standardizzare perché stai usando la media campionaria... ↑