Lancio di un dado e catene di Markov

[watanabe]

salve,
mi sono imbattuto in questo problema:

se lancio un dado non truccato a 6 facce, qual è il valore atteso dei lanci necessari perché escano due 6 di fila?

Io inizialmente ho ragionato così:
Le sequenze ammissibili di lunghezza n terminano con due 6 e gli n-2 valori (da 1 a 6) possono essere anche 6 ma isolati non in coppia.

Le ho contate con un pò di calcolo combinatorio, ho trovato una formula chiusa per P(n)= prob. che una sequenza lunga n termini con due 6 di fila e ho calcolato la media come Sum(n*P(n)) per k=1..+inf ottenendo il valore corretto 42.


La soluzione è molto complessa e mi è stato detto che usando le catene di Markov sarebbe stato più semplice. Io non le conoscevo ed ho provato ad iniziare a studiarle e ad affrontare il problema, ma mi sono bloccato:

La catena è composta dalle variabili aleatorie {Xi} che rappresentano i possibili esiti di un lancio del dado.
(Ma le variabili della catena non dovrebbero avere valore nello spazio degli stati?)

Gli stati possibili sono 3:

A= non esce un 6
B= esce un 6
C= esce un secondo 6 di seguito al primo.

La matrice di transizione Q che ho ricavato è (per gli stati in ordine A,B,C):


A B C

A 5/6 1/6 0

B 5/6 0 1/6

C 0 0 1


Le domande sono 2:

0) La probabilità partendo dallo stato 0 di trovarsi nello stato 1 dopo n lanci non è la componente in posizione (0,2) della matrice (Q^n)? provato ma non torna.

1) SI può risolvere con una catena di Markov o no? se si come?


Grazie