Formichine quasi SIMpatiche! (Probabilità)

[Giova411]

Non sono il CONVOLUTORE ma collaboro con lui, con la giustizia, con mia mamma, con la nonna, col vicino di casa e così con tutti quanti, se mi è possibile.

Annuncio a CODINO75 ed agli amici del FORUM interessati, nel presente e/o nel futuro, a quest'esercizio che c'é più PILU pé ... ehhm no, che, proprio oggi, ho provato a fare sta benedetta convoluzione:

(Vabbé non è che ci ho messo tutti sti giorni, ho fatto anche altro...)


La densità di $D$ potrebbe essere questa Convolutò?!

${(0 " se "t<0 ),(1-t/2 " se " 0<=t<=2),(1-t/2 " se " 2<t<4),(0 " se " t>=4):}$

La convoluzione, visto che sono indipendenti X e Y, potrebbe essere trovata così:

$V=X " e " Y=U - X$
$g(u)=int_0^u (1- v/2)(1-((u-v))/2) dv = ... = u -(u^2)/2 + (u^3)/24$

diciamo che quest'ultimo valore è giusto. Ora come faccio a verificarlo? C'é una sorta di "prova del nove" per verificarlo?
Ora, a questo punto, abbiamo bisogno di te CONVOLUTO'....

E' quasi finito!!!!

[Piera]

Purtroppo non sono il CONVOLUTORE tanto atteso.
Il fatto è che non ho voglia di fare calcoli.
Se la convoluzione non ti piace, puoi trovare la distribuzione di probabilità richiesta ragionando come nel punto b.
Devi calcolare $P(D_x+D_y<=t)$.
Quindi, ragionando come nel punto b devi riottienere la distribuzione che hai trovato con la convoluzione. Questa è la prova del nove.

[Giova411]

Sei il "vice-convolutore" allora! Tipo Robin di Batman e Robin...
Ci avevo pensato geometricamente:

Codì e se ragionassi in termini di aree geometriche? (Lasciando ste convoluzioni e compagnia bella)

$Y= T - X$
$P(D<= T) = int_2^t int_0^(t-x) 1/4 dy dx$

Che dici?

Non so se è giusto. Pensavo che la densità congiunta fosse $1/4$ ma forse avrei dovuto metterci $(1-x/2)*(1-y/2)$ al posto di $1/4$ giusto? Pure gli intervalli di integrazione erano sicuramente sballati...
Oppure devo (con lo jacobano) trovare la densità congiunta $g(u,v)$ e poi andare a considerare gli intervalli sui quali calcolare un semplice integrale?

Vedi?! E' che con le mie scarse intuizioni non sono andato molto lontano....

Non so bene su quale area impostare l'integrale doppio (sempre se di integrale doppio è giusto parlare)
Forse non riesco a visualizzare la zona sotto $D_x + D_y$.

[Piera]

Giova, con un caldo cosi' non sarebbe meglio farsi un tuffo in piscina o meglio andare al mare, invece di fare queste...
Scherzi a parte, rileggendo i post, mi pare che Codino ti abbia detto più di una volta che devi prendere le densità trovate nel punto b.
Mi pare che Codino abbia trovato
$f(x)=1-x/2$ per $0<=x<=2$
$f(y)=1-y/2$ per $0<=y<=2$.
Per semplicità indichiamo $D_x$ con $X$ e $D_y$ con $Y$.
Dobbiamo trovare
$P(X+Y<=t)$.
La prima cosa da fare è vedere come varia $t$.
La retta $x+y=t$ interseca il vertice O(0,0) del quadrato quando $t=0$ (per vederlo basta sostituire nella retta al posto di x e y le coordinate di O che sono x=0 e y=0). La retta $x+y=t$ interseca il vertice del quadrato (2,2) per $t=4$.
Quindi $0<=t<=4$.
Quando $0<=t<=2$ la retta interseca il quadrato in due punti sui lati di vertici O(0,0) (2,0) e O(0,0) (0,2) formando un triangolo rettangolo:
$P(X+Y<=t)=int_0^tint_0^(t-x)(1-y/2)(1-x/2)dydx$ per $0<=t<=2$.
Quando $2<=t<=4$ la retta interseca il quadrato negli altri due lati, anche in questo caso si può integrare su di un triangolo rettangolo:
$P(X+Y<=t)=1-P(X+Y>t)=1-int_(t-2)^2int_(t-x)^2(1-y/2)(1-x/2)dydx$ per $2<=t<=4$.
Questa, salvo errori, è la distribuzione richiesta.

[Giova411]

Nel mentre rispondevi avevo pensato a trovare quest'area:


calcolata sulla densità doppia che ricavo aiutandomi con la matrice jacobana.
Ero sicuro di ciò che stavo facendo ma nel frattenpo mi hai scritto e mi è caduto tutto....

Tutti al mare, tutti al mare, a mostrar le chiappe chiare....

[Giova411]

Pie il CONVOLUTORE sei proprio tu

Però mi sa che ho fatto il ragionamento giusto (alternativo al tuo).

Seguendo un esempio trovato stamane..

densità congiunta $f(x,y)={(1-y/2-x/2+(xy)/4 " per " 2<x<4 " e " 0<y<2),(0 " altrove"):}$

Jacobano rispetto a $x=v$ e $y=u-v$ viene $J=|-1| = 1$ quindi la densità doppia:
$g(u,v)={( (1-(u-v)/2 - v/2 + (v(u-v))/4 )*|J| " per " 2<v<4 " e " 0< u - v <2 ),(0 " altrove: al mare o in piscina"):}$

poi da questa densità si trova la marginale:
$g(u) = { ( int_2^u ( 1-(u-v)/2 - v/2 + (v(u-v))/4 ) dv ), (int_2^4 (1-(u-v)/2 - v/2 + (v(u-v))/4 ) dv),(int_(u-2)^4 (1-(u-v)/2 - v/2 + (v(u-v))/4 ) dv),(0):}$

[Piera]

Come hai detto, io ho trovato la distribuzione senza ricorrere alla convoluzione.
Se abbiamo fatto bene entrambi deve venire lo stesso risultato.
Però mi sembra che nei calcoli di Codino risultasse
$0<=D_x<=2,0<=D_y<=2$, quindi nella densità congiunta devi prendere $0<x<2$ e non $2<x<4$.
Comunque lascio l'ultima parola a Codino che ha svolto la prima parte.

@Giova
Se il tuo professore ha messo in rete le prove d'esame, mi daresti il link, mi piacerebbe vederle.
Ho finito ora di scaricare Le iene di Tarantino, ora me lo guardo!!!!

[Giova411]

http://www.science.unitn.it/~probab/informatici.html
Puoi scaricare da:
" Raccolta dei testi di esame proposti negli appelli del corso 2004/05 "

Pié, quando hai 5 min e sempre se ti va, mi salvi il Culettino come hai sempre fatto su una cosa di statistica (velocissima!) che avevo postato ma nessuno mi ha c****** di striscio?

Sono 2 esempi già fatti (quindi niente calcoli) ma che devo interpretare e può essere che son sbagliati pure. Era qui:
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=19761

Ehm buona visione (per il film)

[Giova411]

Però mi sembra che nei calcoli di Codino risultasse
$0<=D_x<=2,0<=D_y<=2$, quindi nella densità congiunta devi prendere $0<x<2$ e non $2<x<4$.

Ok, ho sbagliato gli intervalli (quindi pure il disegnetto) ma concettualmente penso che sia giusto anche il mio procedimento con gli intervalli 0<x<2 e 0<y<2.
Visto che è più lungo (per non dire che potrebbe essere sbagliato pure...) meglio quello di Pie' ! Se no, in alternativa, una convoluzione.

[Piera]

Ho visto che studi a Trento.
Per qualche motivo che mi sfugge (i misteri della psiche!!) ero convinto che tu fossi di Napoli.

Il film di Tarantino non mi è piaciuto, molto meglio Grindhouse (o come cavolo si scrive) che ho visto recentemente al cinema.