Convergenza in legge

[ludoro]

Ciao a tutti,

Sto affrontando questo esercizio di Probabilità da cui non riesco a venirne a capo.
Sia $(X_n)_{n\geq 1}$ una successione di variabili aleatorie con funzione di ripartizione F:
$$ F(x) = (1-x^{-\alpha}) \mathbb{1}[1,\infty](x) $$

Considero $\alpha > 0$. Sia $M_n = max_{1\leq m \leq n}X_m$, allora la funzione di ripartizione di $M_n$ è:
$$ F_n(x) = (1-x^{-\alpha})^n \mathbb{1}[1,\infty](x) $$

Voglio studiare la convergenza in legge di $ U_n = \frac{M_n}{n^{\frac{1}{\alpha}} $


Quello che dovrei fare allora è calcolare il seguente limite:

$$ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{\alpha}}} (1-x^{-\alpha})^n$$

Tuttavia a me sembra faccia 0, ma il risultato è $e^{-x^{-\alpha}}$. Qualcuno che riesce a darmi una mano?

[tommik]

A parte il fatto che nella traccia dovresti specificare che le variabili della successione sono indipendenti.....

Secondo te la funzione di ripartizione di $U_n=(X_((n)))/(n^(1/alpha))$ è uguale alla funzione di ripartizione di $X_((n))$ diviso $n^(1/alpha)$?

...domanda retorica, perché questo è esattamente ciò che hai fatto (errore da matita blu....)

[ludoro]

Mannaggia, che brutto errore hai ragione. Meglio qui che all'esame. Grazie per il chiarimento!