Ciao a tutti,
di recente il professore di Probabilità e Statistica ha risolto in classe un esercizio che mi ha lasciato perplesso. L'esercizio in questione è il seguente:
Sono date due variabili aleatorie definite da:
$X \ ~ \ N(0, 1)$
$Y|{X=x} \ ~ \ N(x, 2)$
Ovvero $X$ è una normale standard e $Y$ condizionata a $X=x$ è una normale di media $x$ e varianza $2$.
Viene chiesto di calcolare $Var(Y)$
Il mio professore ha applicato la formula della varianza:
$Var(Y) \ = \ E[Var(Y|X)] + Var(E[X|Y])$
Ora per calcolare $E[Var(Y|X)]$ ha fatto il seguente ragionamento:
$E[Var(Y|X)] = E[2] = 2$,
usando la seguente uguaglianza:
$E[Var(Y|X)] = E[Var(Y|X=x)]$
Io mi chiedo però quanto sia generale tale formula.
Abbiamo dimostrato che l'attesa condizionata $E[Y|X]$ si ottiene così:
$f(x) := E[Y|X=x]$
allora $E[Y|X] = f(X)$
possiamo dire lo stesso della varianza condizionata? Ovvero, dato:
$g(x) := Var(Y|X=x)$
è vero che $Var(Y|X) = g(X)$?
EDIT:
inoltre, tornando all'esercizio, perché si può dire che il vettore aleatorio $(X,Y)$ è un vettore gaussiano?
Grazie dell'attenzione