Esercizio di PROBABILITA' ( quasi finito !)

[Giova411]

Si si hai ragione. Ma non metto solo esercizi del mio prof.. Li cerco in giro e provo a farli....
Sto vedendo che alla fine è sempre la stessa cosa da fare (con questa tipologia) però, ti assicuro, per me ste cose sono difficilissime!

Ho capito la figura che dici di vedere. Il resto ancora no. Ma non voglio chiederti niente per il momento. Hai fatto (così come LUCA) pure troppo!!! E grazie!
Devo arrivarci da solo con tutta la pappardella che già mi hai scritto. (E devo trovare pure il tempo per mettermi a tavolino )
Ce la farò!
E che C--beeep----)!

[Giova411]

Domanda finale 1)

$F_Z(z)=P[Z<z]=P[|X-Y|<z]=P[-z<X-Y<z]=P(-z+X<=Y<=z+X)$ con $0<z<1$.

Da qui come si fa ad andare avanti con questa notazione?
Il risultato l'avevo ottenuto geometricamente (grazie ad un esempio di Codino75) ma se volessi proseguire da qui:
$P(-z+X<=Y<=z+X) = ...$ Oh, le ho provate tutte ma non arrivo al risultato aspettato ($2z-z^2$)

Domanda finale 2)
Per l'indipendenza credo di aver capito tutto (finalmente!) tranne che un'ultimissima cosetta.


$F_z(1/2) * F_w(1/2) = $?$= "Area_1" + "Area_2"$

$3/4*3/4 =$?$= (int_0^(1/2) int _(x-1/2)^(x) ("desita di cosa?") dy *dx )+ (int_0^(1/2) int _(y)^(y-1/2) ("densità di cosa?") dx *dy )$

Ho pensato alla densità calcolata con la uniforme $1/(1-0)=1$ ma ho dei dubbi. (Strano perché non ne ho mai .... Stendiamo un velo pietoso .... )

Se così fosse si avrebbe:
$9/16="?"= 1/4-1/4$ NO, Z e W non sono indipendenti.

[Piera]

1) Non l'hai specificato, credo che x e y siano indipendenti e uniformi in (0,1). Avendo entrambe le variabili densità pari a 1 si ha
densità congiunta $f(x,y)=f(x)f(y)=1*1=1$ $0<x<1,0<y<1$.
Calcoliamoci $P(-z+X<=Y<=z+X)$.
Avrai visto che le due rette formano con il quadrato un esagono. Visto che integrare sull'esagono è un po' laborioso, si può ragionare come segue:
$P(-z+X<=Y<=z+X)=P(Y<=z+X)-P(Y<=-z+X)=1-P(Y>z+X)-P(Y<=-z+X)$. (*)

Facendo il disegno si vede che $P(Y>z+X)$ si ottiene integrando sul triangolo rettangolo in alto a sinistra:
$P(Y>z+X)=int_0^(1-z)int_(x+z)^1 1dydx=1-z-(1-z)^2/2-z+z^2$.

La $P(Y<=-z+X)$ la ottieni invece sul triangolo rettangolo in basso a destra:
$P(Y<=-z+X)=int_z^1int_0^(x-z)1 dydx=1/2-z^2/2-z+z^2$.
Sostituendo i valori trovati nella (*) si ottiene finalmente
$P(-z+X<=Y<=z+X)=2z-z^2$.

2) Prima di rispondere alla tua domanda ti dico un'altra cosa.
Per trovare $P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2)$ siamo ricorsi alla probabilità condizionata, facendo un bel po' di passaggi. Se guardi bene, abbiamo considerato il caso Y<X e poi Y>X. Senza fare tutti quei passaggi (te li ho fatti pensando che potesse essere più chiaro ma adesso non ne sono più tanto convinto), puoi subito affrontare i due casi Y<X e poi Y>X come segue.
$P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2)=P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2,Y<X)+P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2,Y>X)$,
in pratica devi spezzare la probabilità in due mettendo una volta Y<X e poi Y>X.
Ora $P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2,Y<X)=P(Y<1/2,X-Y<1/2, Y<X)$ dato che quando $Y<X$ il $min(X,Y)=Y$ e $|X-Y|=X-Y$ come ti avevo già detto; analogamente $P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2,Y>X)=P(X<1/2,Y-X<1/2, Y>X)$.
Pertanto, senza fare tutti quei passaggi, siamo già arrivati a
$P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2)=P(Y<1/2,X-Y<1/2,Y<X)+P(X<1/2,Y-X<1/2,Y>X)$.
Adesso, rispondiamo alle tue domande.
Si, la densità è 1.
Hai però sbagliato a calcolare le aree.
Se guardi bene il tuo disegno, l'area gialla ha le seguenti limitazioni: $0<y<1/2$, $y<x<y+1/2$. Pertanto l'integrale diventa: $int_0^(1/2)int_y^(y+1/2)1dxdy=1/4$.
Nell'altra area le limitazioni sono $0<x<1/2,x<y<x+1/2$ e l'integrale fa sempre $1/4$.

$9/16 ne 1/2 =>$ le variabili non sono indipendenti.

[Giova411]

Non ho parole per ringraziarti l'n-esima volta + 1!