da Piera » 24/06/2007, 02:12
1) Non l'hai specificato, credo che x e y siano indipendenti e uniformi in (0,1). Avendo entrambe le variabili densità pari a 1 si ha
densità congiunta $f(x,y)=f(x)f(y)=1*1=1$ $0<x<1,0<y<1$.
Calcoliamoci $P(-z+X<=Y<=z+X)$.
Avrai visto che le due rette formano con il quadrato un esagono. Visto che integrare sull'esagono è un po' laborioso, si può ragionare come segue:
$P(-z+X<=Y<=z+X)=P(Y<=z+X)-P(Y<=-z+X)=1-P(Y>z+X)-P(Y<=-z+X)$. (*)
Facendo il disegno si vede che $P(Y>z+X)$ si ottiene integrando sul triangolo rettangolo in alto a sinistra:
$P(Y>z+X)=int_0^(1-z)int_(x+z)^1 1dydx=1-z-(1-z)^2/2-z+z^2$.
La $P(Y<=-z+X)$ la ottieni invece sul triangolo rettangolo in basso a destra:
$P(Y<=-z+X)=int_z^1int_0^(x-z)1 dydx=1/2-z^2/2-z+z^2$.
Sostituendo i valori trovati nella (*) si ottiene finalmente
$P(-z+X<=Y<=z+X)=2z-z^2$.
2) Prima di rispondere alla tua domanda ti dico un'altra cosa.
Per trovare $P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2)$ siamo ricorsi alla probabilità condizionata, facendo un bel po' di passaggi. Se guardi bene, abbiamo considerato il caso Y<X e poi Y>X. Senza fare tutti quei passaggi (te li ho fatti pensando che potesse essere più chiaro ma adesso non ne sono più tanto convinto), puoi subito affrontare i due casi Y<X e poi Y>X come segue.
$P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2)=P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2,Y<X)+P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2,Y>X)$,
in pratica devi spezzare la probabilità in due mettendo una volta Y<X e poi Y>X.
Ora $P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2,Y<X)=P(Y<1/2,X-Y<1/2, Y<X)$ dato che quando $Y<X$ il $min(X,Y)=Y$ e $|X-Y|=X-Y$ come ti avevo già detto; analogamente $P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2,Y>X)=P(X<1/2,Y-X<1/2, Y>X)$.
Pertanto, senza fare tutti quei passaggi, siamo già arrivati a
$P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2)=P(Y<1/2,X-Y<1/2,Y<X)+P(X<1/2,Y-X<1/2,Y>X)$.
Adesso, rispondiamo alle tue domande.
Si, la densità è 1.
Hai però sbagliato a calcolare le aree.
Se guardi bene il tuo disegno, l'area gialla ha le seguenti limitazioni: $0<y<1/2$, $y<x<y+1/2$. Pertanto l'integrale diventa: $int_0^(1/2)int_y^(y+1/2)1dxdy=1/4$.
Nell'altra area le limitazioni sono $0<x<1/2,x<y<x+1/2$ e l'integrale fa sempre $1/4$.
$9/16 ne 1/2 =>$ le variabili non sono indipendenti.