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Correlazione e Coefficiente di Correlazione

MessaggioInviato: 16/03/2019, 14:13
da F3L1X93
Salve, mi ritrovo a studiare i processi stocastici e nella fattispecie la funzione di autocorrelazione.Dal confronto con più manuali è emersa una perplessità, in generale nella maggior parte si riprende la definizione di correlazione cioè fissati due istanti del processo stocastico parliamo di autocorrelazione come :$E(Xt_iXt_j)$ .Però nel mio libro di testo la funzione di autocorrelazione viene definita attraverso il coefficiente di correlazione cioè:$\rho={COV(Xt_i,Xt_j)}/{sqrt[VAR(Xt_i)*VAR(Xt_j)]}$ .Questo mi ha creato un pò di confusione visto che da quello che so, il coeff. di correlazione misura la correlazione che esiste tra due v.a. mentre la correlazione è il legame causa-effetto che esiste tra le due v.a. prese in considerazione.Mi chiedo che legame esiste tra la correlazione e il coefficiente di correlazione? perchè quando si ha a che fare con un p.s. le si tratta in maniera indistinta? Mi andrebbe bene anche la risposta a una delle due domande

Re: Correlazione e Coefficiente di Correlazione

MessaggioInviato: 16/03/2019, 14:33
da Gughigt
Per quello che sono riuscito a capire dal tuo quesito fai solo una gran confusione: il coefficiente di correlazione è una misura sintetica della correlazione, banalmente è la covarianza normalizzata. In ambito di processi stocastici se il processo è ergodico rispetto alla media puoi definire l’autocorrelazione della fase $i$ come il rapporto tra l’autocovarianza i-esima e l’autocovarianza alla fase $0$ (evidentemente la varianza).
Prova a spiegarti meglio magari così posso aiutarti.

Re: Correlazione e Coefficiente di Correlazione

MessaggioInviato: 16/03/2019, 14:53
da F3L1X93
Innanzitutto grazie per la risposta, cerco di essere più chiaro. Innanzitutto il dubbio è nato a partire dalla definizione di stazionarietà in senso lato di un processo stocastico. Io so che un processo stocastico si definisce stazionario in senso lato se tutte le v.a. che lo compongono hanno uguale media, uguale varianza e funzione di autocorrelazione dipendente solo dalla differenza tra i due istanti considerati. In questa definizione l'autocorrelazione è definita come la correlazione di due v.a. cioè $E(Xt_iXt_j)$. Poi (sempre il libro) quando va a valutare la funzione di autocorrelazione di un processo stocastico stazionario utilizza il coefficiente di correlazione $\rho={COV(Xt_i,Xt_j)}/{sqrt[VAR(Xt_i)*VAR(Xt_j)]}$. Perchè uso il coefficiente di correlazione e non la correlazione? Da qui, mi il dubbio sul fatto se esista un legame tra la correlazione e il coefficiente di correlazione

Re: Correlazione e Coefficiente di Correlazione

MessaggioInviato: 16/03/2019, 19:19
da Gughigt
F3L1X93 ha scritto: Da qui, mi il dubbio sul fatto se esista un legame tra la correlazione e il coefficiente di correlazione

Be' direi di sì. Non credi? Forse magari il secondo è un indicatore della prima che - seppur determinato con arbitrarietà - fornisce una misura buona della presenza o meno di correlazione.
Tu "calcoli" la correlazione diversamente di solito?

Re: Correlazione e Coefficiente di Correlazione

MessaggioInviato: 16/03/2019, 19:47
da F3L1X93
Il fatto che si adoperi il coefficiente di correlazione per calcolare la correlazione non è in dubbio in generale, quello che mi chiedevo cosa mi giustifica il fatto che possa usare come funzione di autocorrelazione il coefficiente di correlazione?
Credo di aver trovato la soluzione alla mia domanda e spero che tu me ne possa dare conferma. In generale quando si ha a che fare con i processi stocastici stazionari possiamo ricondurci sempre a un processo stocastico a media nulla andando a vedere il nostro processo stocastico come la somma di un processo stocastico stazionario con media nulla e una costante che è pari proprio alla media del nostro processo stocastico. Detto ciò, assumendo di avere a che fare con un processo stazionario a media nulla possiamo dire che la autocorrelazione è uguale alla autocovarianza. Visto che per ricavare il coefficiente di correlazione usiamo l'autocovarianza, in questo caso il coefficiente di correlazione utilizzeremo l'autocorrelazione. Essendo il coefficiente di correlazione la normalizzazione dell'autocovarianza restringendoci in questo caso possiamo dire che il coefficiente di correlazione altro non è che la autocorrelazione normalizzata.

Re: Correlazione e Coefficiente di Correlazione

MessaggioInviato: 20/03/2019, 14:13
da Gughigt
Il tuo ragionamento è corretto ma è necessario che il processo sia ergodico nella media, altrimenti non è detto che l’autocorrelazione sia l’autocovarianza normalizzata (in altre parole la somma di tutte le autocovarianze deve essere in valore assoluto finita)