Matematicamente.it

Ciao a tutti, ennesimo esercizio con probabilità classica e condizionale, pensavo di averci capito qualcosa ma a quanto pare no

Dopo aver mescolato accuratamente un mazzo di carte da Poker, date ad un amico 13 carte.
(a) Qual e la probabilità che il vostro amico abbia esattamente un asso?
(b) Qual e la probabilità che il vostro amico abbia almeno un asso?
(c) Chiedete al vostro amico “hai un asso?” e lui risponde “sì”. Qual e la probabilità (condizionale) che abbia più di un asso?

a- $|\Omega| = ((52),(13))$ mentre usando scelte successive per $|A|$ :
- scelgo un asso : 4 scelte
- scelgo le altre 12 carte in modo che non siano assi: $((48),(12))$ scelte
Allora $P = (((48),(12))*4)/(((52),(13))) ~~ 43,9%$ . Giusto? A me sembrerebbe di sì, però poi analogamente nel secondo punto mi verrebbe da fare:

b- $|\Omega| = ((52),(13))$ mentre usando scelte successive per $|A|$ :
- scelgo un asso: 4 scelte
- scelgo le altre 12 carte casualmente : $((51),(12))$ scelte
Allora $P = (((51),(12))*4)/(((52),(13))) =1$ quindi qualcosa di sbagliato c'è, ma non capisco cosa, forse non devo moltiplicare per 4?

Abbozzo il punto c sapendo che comunque senza i punti a e b non può uscire giusto:
Definita $P(A|B)$ la probabilità condizionale di A sapendo B , e $P(A|B) = (P(AnnB)) / (P(B))$ dove $P(A)=$ "vi sono 2 o più assi tra le 13 carte" e $P(B)=$ "vi è almeno un asso tra le 13 carte" (altro dubbio: qui la P(B) è la probabilità che vi sia almeno un asso o esattamente un asso? Quale delle due dovrei usare? ) . Quindi $P(AnnB)=P(A)$ ? Chiedo delucidazioni, grazie mille

P.S. Ci sono anche un punto d) e un punto e) che posterò quando avrò capito questi tre punti base.

ci devi prendere un po' la mano, tutto qua

$mathbb{P}[A=1]=(((48),(12))((4),(1)))/(((52),(13)))=43.9%$ ed è giusto....ora domandati:"qual è la distribuzione degli assi nelle 13 carte distribuite al tuo amico?"

ovviamente sarà questa variabile discreta (le probabilità dei singoli eventi le calcolerai nello stesso modo in cui hai risolto il primo punto¹)

$A={{: ( 0 , 1 , 2, 3 , 4 ),( 30.4% , 43.9% , 21.3% , 4.1%, 0.3% ) :}$

ora mi sembra facile capire come calcolare la probabilità che abbia "almeno un asso" ovvero ne abbia 1,2,3 oppure 4.....puoi calcolare le singole probabilità e sommarle oppure fare il complementare $1-mathbb{P}[A=0]=69.6%$

a questo punto la probabilità condizionata richiesta è semplicemnte un rapporto, perché consiste nel restringere lo spazio campionario iniziale a quello condizionato....quindi, sempre facendo casi favorevoli diviso casi possibili, è banalmente $mathbb{P}[A>1|A>=1]=(21.3+4.1+0.3)/(69.6)=37.0%$


PS:TUTTI questi esercizi sono calcolo di probabilità di "statistica classica"; purtroppo la "Statistica Bayesiana" difficilmente si insegna nei corsi base²....

---

Grazie mille, ho capito tutto, però non c'è un metodo più veloce per calcolare la probabilità che abbia almeno due assi senza dover sommare le prob 2 assi + prob 3 assi + prob 4 assi? Perché così perdo molto più tempo. Mettiamo caso che abbia 430 carte con 37 assi, se per calcolare la probabilità di averne almeno 3 devo calcolare tutte le successive il procedimento diventa eterno ahah

Comunque posto anche il punto d)
- Chiedete al vostro amico: "Hai l'asso di quadri? Risponde di sì. Calcolare la prob condizionale che abbia più di un asso.

Seguendo il ragionamento di prima

$P(A|B)=(P(AnnB))/(P(B))$ dove $P(B)=$ "probabilità che abbia l'asso di quadri"

Mentre $P(AnnB)=$ "probabilità che abbia almeno due assi e uno è di quadri" .

Usando il complementare, $P(B) = 1 - (((51),(13)))/(((52),(13))) = 25%$
Mentre $P(AnnB)$ = " P(2 o più assi)*3/7 visto che tra le combinazioni di due o più assi, solo 3/7 di queste contengono l'asso di quadri. Quindi $P(AnnB) = 0.256*3/7 = 11%$ da cui $P(A|B) = 44%$

Giusto? Speriamo di si :/

...ho fatto un esempio che non funziona. Però se avessi 430 carte di cui 37 assi e volessi calcolare la probabilità di pescarne almeno 20 pescando 40 carte, allora in questo caso il procedimento sarebbe lungo o sbaglio?

Comunque il procedimento del punto d è corretto?