Probabilità di movimento di N passi

Ciao a tutti.

Una particella si può muovere solo avanti o indietro di 1 passo per volta, ma la probabilità di fare un passo avanti è del 60% mentre di fare un passo indietro del 40%.
Come si calcola la probabilità che la particella arrivi ad arretrare di 10 passi ? i 10 passi non devono essere necessariamente consecutivi.

Grazie

Secondo te c’è un numero di passi che la particella dovrà fare almeno per poter ottenere $10$ passi indietro? Se sì qual è?

P.S:
Regolamento magari leggi il punto 1.2 prima di postare di nuovo.

Secondo te c’è un numero di passi che la particella dovrà fare almeno per poter ottenere $10$ passi indietro? Se sì qual è?

P.S:
Regolamento magari leggi il punto 1.2 prima di postare di nuovo.

Ciao !
sì deve chiaramente fare almeno 10 passi indietro come minimo.
Il problema è che si ragiona per n che tende a infinito quindi non so proprio come risolverlo

Ciao a tutti.

Una particella si può muovere solo avanti o indietro di 1 passo per volta, ma la probabilità di fare un passo avanti è del 60% mentre di fare un passo indietro del 40%.
Come si calcola la probabilità che la particella arrivi ad arretrare di 10 passi ? i 10 passi non devono essere necessariamente consecutivi.

Grazie

Questo non è il testo completo ed originale del problema e lo si capisce dal fatto che non è specificato quanti passi fa la particella. Quindi in mancanza di altri dati, condizionatamente al fatto che $N=n$, si osserva che

1) se $N$ è dispari la probabilità cercata è zero.

2) se $N$ è pari, ovvero $N=2m$ con $m$ numero naturale maggiore o uguale a $5$, la probabilità cercata, condizionata al numero di passi, è la seguente

$mathbb{P}[S_N=-10|N=2m]=((2m),(m-5))0.6^(m-5)0.4^(m+5)$

$m=5,6,7,....$

Se invece, come si evince da questo commento

Il problema è che si ragiona per n che tende a infinito quindi non so proprio come risolverlo

sei interessata allo studio del processo stocastico discreto (che nel caso in esame è un random walk asimmetrico) allora ti consiglio vivamente (come già hanno fatto altri, sia qui che in altri topic) di studiare bene la teoria sottostante prima di affrontare esercizi; in caso contrario diventa difficile aiutarti perché parliamo lingue diverse.

Per fartene un’idea puoi puoi guardare qui, ragionarci sopra un po’, se necessario consultare libri o dispense sull'introduzione ai processi stocastici discreti e concludere da te l’esercizio oppure postare una valida bozza di soluzione, con il testo dell'esercizio scritto per intero, le formule scritte in modo conforme a quanto stabilito dalle regole della Community, e chiedere chiarimenti o spiegazioni su eventuali dubbi, difficoltà nella risoluzione ecc ecc.

In ogni caso, se devi postare un altro topic, ti prego di farlo nel pieno rispetto del regolamento altrimenti, per favore, EVITA.

In caso contrario, al prossimo topic postato senza bozza di soluzione, ci penserò io a chiuderlo senza ulteriori spiegazioni.

[tommik]

scusa e grazie per i link, li studiero'.
Avevo fatto ricerche in rete ma la cosa che mi fa arrabbiare e' che le spiegazioni matematiche sono sempre teoriche con le lettere e i simboli senza gli esempi quindi faccio fatica a capire dove guardare

Ultima modifica di tommik il 25/03/2019, 16:44, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: eliminata citazione ingombrante

scusa ultima domanda: ma nelle dispense dei processi stocastici discreti trovero' anche un modo per affrontare lo stesso problema dove la particella fa movimenti asimmetrici (tipo spostarsi di 1,2 passi a destra e 1 passo a sinistra) ??? la teoria matematica e' la stessa? grazie 1000

Ovviamente sì, il processo è aleatorio, non deterministico e quindi la particella può fare 1,2,3...m passi una direzione e poi 1,2,3,...,k passi nell'altra, nulla cambia...ma qui mi pare che siamo ad un livello molto inferiore dei processi stocastici; per curiosità, che tipo di background hai? che studi stai facendo? Quali sono i testi sui quali stai studiando?

Ad esempio, per la passeggiata aleatoria in esame

$X_n={{: ( -1 , q ),( 1 , p ) :}$

è facile trasformarla in una bernulliana con una semplice trasformazione lineare

$Y_n=(X_n+1)/2={{: ( 0 , q ),( 1 , p ) :}$

ma siccome sappiamo dalla teoria¹ che la somma di $n$ bernulliane indipendenti è una Binomiale, allora

$Sigma_nY_n=Sigma_n(X_n+1)/2$

$Sigma_nX_n=(2Sigma_nY_n)-n$

e quindi, per le proprietà del valore atteso, anche

$mathbb{E}[Sigma_nX_n]=2mathbb{E}[Sigma_nY_n]-n$

$mathbb{E}[Sigma_nX_n]=2np-n=n(2p-1)$

da cui è evidente che, per $n rarr oo$, se $p=1/2$ il valore atteso è zero, se $p>1/2$ il valore atteso è $+oo$ mentre se $p<1/2$ il valore atteso è $-oo$

EDIT:
Se i passi sono diversi da $+-1$ o asimmetrici poco cambia; qualunque variabile dicotomica può essere riportata ad una bernulliana con la procedura descritta e quindi è possibile ricavare la distribuzione della somma come una binomiale con supporto modificato.

La procedura descritta serve ovviamente a calcolare tutta la distribuzione della somma. Se invece si è solamente interessati al calcolo della media allora, anche senza tutta questo ragionamento, basta utilizzare le proprietà di linearità del valore atteso.

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Note

1. in questo esempio siamo interessati alla somma delle variabili perché ci interessa la posizione che otterremo alla fine del processo:$1+1+1-1-1+1+1-1-1$ ecc ecc ↑

intendevo che sono i passi ad essere asimmetrici proprio nella loro entita'. Cioe' una particella che se si muove a destra si muove di 1,2 passi per volta (1,2+1,2+1,2+1,2+1,2+...) se si muove a sinistra di 1 (-1,-1,-1,-1,-1...)
si puo' trovare una soluzione ?