problema coefficiente di correlazione

Messaggioda icklazza » 22/06/2007, 19:23

Salve a tutti, ho appena scoperto questo forum e mi sono accorto che probabilmente è l'unico valido...

Comunque giovedi prossimo ho l'esame di statistica 2 e mi sto preparando anche guardando il testo dell'appello precedente, trovando dei dubbi su questo quesito.

Se X e Y sono 2 v.c indipendenti N(0,1), si calcoli il coefficiente di correlazione(rho) di (X^2,X+Y).

in teoria il coefficiente di correlazione dovrebbe essere (E(X^2(X+Y))-E(X^2)E(X+Y))/radq(VAR(X^2)VAR(X+Y))

più o meno ci sono sulla soluzione tranne per risolvere il valore atteso di [X^2(X+Y)] infatti se svolgo il prodotto arrivo ad una cosa che sinceramente non sarei in grado di risolvere.

Posso però fare il prodotto dei valori attesi di X^2 e di (X+Y)?

Vi prego aiutatemi, ho ancora molto da studiare e se non risolvo questi dubbi non c'è la farò mai.
icklazza
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Messaggioda Giova411 » 22/06/2007, 21:08

Ciao icklazza!
Benvenuto nel FORUM ! :wink:

Io non sono arrivato a questi argomenti "avanzati" ma vedrai che qualcuno risponderà alle tue domande!
Buona serata!
Giova411
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Re: problema coefficiente di correlazione

Messaggioda nicola de rosa » 22/06/2007, 22:22

icklazza ha scritto:Salve a tutti, ho appena scoperto questo forum e mi sono accorto che probabilmente è l'unico valido...

Comunque giovedi prossimo ho l'esame di statistica 2 e mi sto preparando anche guardando il testo dell'appello precedente, trovando dei dubbi su questo quesito.

Se X e Y sono 2 v.c indipendenti N(0,1), si calcoli il coefficiente di correlazione(rho) di (X^2,X+Y).

in teoria il coefficiente di correlazione dovrebbe essere (E(X^2(X+Y))-E(X^2)E(X+Y))/radq(VAR(X^2)VAR(X+Y))

più o meno ci sono sulla soluzione tranne per risolvere il valore atteso di [X^2(X+Y)] infatti se svolgo il prodotto arrivo ad una cosa che sinceramente non sarei in grado di risolvere.

Posso però fare il prodotto dei valori attesi di X^2 e di (X+Y)?

Vi prego aiutatemi, ho ancora molto da studiare e se non risolvo questi dubbi non c'è la farò mai.


$rho=(E[X^2(X+Y)]-E[X^2]E[X+Y])/(sigma_(X^2)sigma_(X+Y))$

Ora: $E[X^2]=sigma_X^2+E^2[X]=1$
$E[X+Y]=E[X]+E[Y]=0$
$E[X^2(X+Y)]=E[X^3]+E[X^2Y]=E[X^3]+E[X^2]E[Y]=E[X^3]$
$sigma_(X+Y)=sqrt(sigma_(X+Y)^2)=sqrt(sigma_X^2+sigma_Y^2)=sqrt(2)$
$sigma_(X^2)=sqrt(sigma_(X^2)^2)=sqrt(E[X^4]+E^2[X^2])$
Quindi
$rho=(E[X^2(X+Y)]-E[X^2]E[X+Y])/(sigma_(X^2)sigma_(X+Y))=(E[X^3])/sqrt(2(E[X^4]+E^2[X^2]))$

Concentriamoci su $E[X^3]=int_{-infty}^{+infty}x^3f_X(x)dx$

Ma nel nostro caso la funzione $x^3f_X(x)$ è una funzione dispari il cui integrale, come ogni integrale di funzione dispari, in un intervallo simmetrico rispetto all'origine è nullo. Per cui $E[X^3]=0$ da cui
$rho=0$
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Messaggioda icklazza » 22/06/2007, 23:52

Grazie mille, si così è giusto, ma volevo sapere se esiste un modo per semplificare un po' le cose dato che faccio sempre un gran casino con i calcoli.

Posso risolvere E[$X^2$(X + Y)] come E[$X^2$] E[X+Y]?
anzi penso proprio di no visto che se no mi verrebbero tutte le ρ uguali a 0...

Questo passaggio qua però posso risolverlo in quest'altro modo?

$σ_X2$ se sò che $X^2$ di una normale è una distribuzione Gamma(1/2,1/2), mi basta trovare la varianza di gamma, che in questo caso è uguale a 2, giusto?
icklazza
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Messaggioda nicola de rosa » 23/06/2007, 00:09

icklazza ha scritto:Posso risolvere E[$X^2$(X + Y)] come E[$X^2$] E[X+Y]?


ovviamente no perchè le due v.a $X^2,(X+Y)$ sono chiaramente dipendenti.

Poi sulla v.a di tipo Gamma io non mi ci sono soffermato perchè i momenti di ordine dispari di una v.a gaussiana a media nulla sono sempre nulli. Però se sai la distribuzione Gamma calcoli la varianza di Gamma per il denominatore, ma alla fine non ti serve a granchè visto che devi sempre trovare il numeratore quanto vale
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