Ciao a tutti !
Prima di tutto mi scuso per le discussioni di questi giorni nell'altro post, rileggendomi mi sono resa conto che ho peccato di arroganza (e ignoranza). Scusate
Vorrei adesso spiegarvi questo mio dubbio. Sono diversi giorni che ci provo, ma non riesco a venirne a capo
Le ipotesi sono le seguenti:
- capitale = 1000
- probabilita' di vincita = 55%
- vincita = 200
- perdita = 180
Il problema consiste nel calcolare la probabilita' di perdere tutto il capitale per un numero di scommesse che tende a infinito.
Quindi con un esempio esplicativo si tratta di risolvere questo:
$ 1000 - 180 + 200 +200 - 180 - 180 - 180 + 200 - 180 + 200 + 200 + 200 - 180... = 0 $
Ho esplorato molte parti della teoria del random walk, il problema e' che pero' tutto quello che trovo da' per scontato il fatto che la lunghezza dei singoli passi resti costante. L'unica asimmetria di cui si parla e' quella delle probabilita' $ (p ≠ q) $
Ma non trovo alcun cenno al fatto che il moto possa andare a "velocita' diverse" come in questo caso dove sale di 200 e scende di 180.
Allora io cosa ho fatto ? una cosa che mi sembrava geniale ma a guardare le controprove con excel non mi funziona.
Non so se conoscete "il problema della rovina del giocatore", in sostanza e' una formula che descrive la probabilita' di rovinarsi scommettendo contro il banco.
Dati:
A = il tuo capitale
B = capitale del banco
la probabilita' di svuotare il banco prima che lui svuoti te e':
$ P = [1 - (q/p)^A) / (1 - (q/p)^(A+B)] $
come notate, anche qui lo stesso inghippo: si da' per scontato che i flussi fra noi e il banco siano uguali (cioe' se perdo gli cedo X, se guadagno lui mi cede X). Quindi e' inapplicabile nel caso sopra perche' $200 ≠ 180$
Al che ho pensato di convertire il problema in un altro partendo da questa considerazione.
Se io ho il 55% di probabilita' di vincere 200 e il 45% di perdere 180, posso trasformare questo problema in un problema equivalente dove ho la probabilita' di vincere X col 55% e perdere X col 45% ? ossia trovare un X in modo che la soluzione del quesito resti immutata ?
se riesco nell'obiettivo di fare questa "trasformazione" ce l'ho fatta, posso usare la formula della rovina del giocatore.
Questo X quindi come si trova ? io ho pensato sfruttando il valore atteso, infatti se due situazioni hanno lo stesso valore atteso allora dovrebbero comportarsi allo stesso modo in termini di probabilita'.
Prima di tutto calcoliamo il valore atteso della scommessa:
$ [E] = [1000 + (0,55 * 200)] - [1000 + 0,45 * 180] = 29 $
bene, adesso scriviamo il valore atteso del problema trasformato:
$ [E2] = [1000 + (0,55 * X)] - [1000 + 0,45 * X] = 29 $
quindi risolviamo:
$
[E2] = (0,55X) - 0,45X = 29
$
$
[E2] = X = 290
$
Quindi avere il 55% di probabilita' di vincere 200 e il 45% di perdere 180 e' come avere il 55% di probabilita' di vincere 290 e il 45% di perdere 290.
Ora possiamo usare la formula della rovina del giocatore perche' $290 = 290$.
Siccome il numero di scommesse tende a infinito, possiamo interpretare il problema come se il banco avesse un capitale infinito mentre noi appunto i nostri 1000.
La formula inoltre da' per scontato che tra il nostro capitale A e il capitale del banco B ci siano flussi pari all'unita', quindi al posto di A dobbiamo mettere $1000/290=3,4482$ (in pratica e' come se avessimo 3,4482 euro e ci fossero flussi di 1 euro, appunto l'unita').
Inoltre il capitale del banco e' infinito quindi il denominatore della formula diventa:
$ B → ∞ = P = [1 - (q/p)^A) / (1 - (q/p)^(A+∞)] = [1 - (q/p)^A) / 1 $
quindi
$ P = 1 - (0.45/0.55)^3.4482 = 0.4994 = 49.94% $
quindi la probabilita' di perdere tutto sara':
$ 1 - 49.94% = 50,06% $
in pratica l'assunto era che se il valore atteso e' lo stesso allora il comportamento in termini di probabilita' sarebbe stato lo stesso.
Il ragionamento sembrava filare eppure non fila proprio.
Poi riflettendoci meglio (anche grazie al confronto con voi) ho capito che e' un ragionamento sbagliato, in effetti due scommesse possono avere lo stesso valore atteso (cioe' la stessa "media di scenari") ma la distribuzione delle probabilita' puo' essere differente...
Se e' sbagliato il mio approccio non riesco proprio ad immaginare come si fa.
Idee ?