Probabilità di bruciare il conto con un rapporto guadagno/perdita diverso da 1

Messaggioda Eryka » 29/03/2019, 04:28

Ciao a tutti !
Prima di tutto mi scuso per le discussioni di questi giorni nell'altro post, rileggendomi mi sono resa conto che ho peccato di arroganza (e ignoranza). Scusate :cry:

Vorrei adesso spiegarvi questo mio dubbio. Sono diversi giorni che ci provo, ma non riesco a venirne a capo :evil:

Le ipotesi sono le seguenti:

- capitale = 1000
- probabilita' di vincita = 55%
- vincita = 200
- perdita = 180

Il problema consiste nel calcolare la probabilita' di perdere tutto il capitale per un numero di scommesse che tende a infinito.
Quindi con un esempio esplicativo si tratta di risolvere questo:

$ 1000 - 180 + 200 +200 - 180 - 180 - 180 + 200 - 180 + 200 + 200 + 200 - 180... = 0 $

Ho esplorato molte parti della teoria del random walk, il problema e' che pero' tutto quello che trovo da' per scontato il fatto che la lunghezza dei singoli passi resti costante. L'unica asimmetria di cui si parla e' quella delle probabilita' $ (p ≠ q) $
Ma non trovo alcun cenno al fatto che il moto possa andare a "velocita' diverse" come in questo caso dove sale di 200 e scende di 180.

Allora io cosa ho fatto ? una cosa che mi sembrava geniale ma a guardare le controprove con excel non mi funziona.
Non so se conoscete "il problema della rovina del giocatore", in sostanza e' una formula che descrive la probabilita' di rovinarsi scommettendo contro il banco.
Dati:

A = il tuo capitale
B = capitale del banco

la probabilita' di svuotare il banco prima che lui svuoti te e':

$ P = [1 - (q/p)^A) / (1 - (q/p)^(A+B)] $

come notate, anche qui lo stesso inghippo: si da' per scontato che i flussi fra noi e il banco siano uguali (cioe' se perdo gli cedo X, se guadagno lui mi cede X). Quindi e' inapplicabile nel caso sopra perche' $200 ≠ 180$

Al che ho pensato di convertire il problema in un altro partendo da questa considerazione.
Se io ho il 55% di probabilita' di vincere 200 e il 45% di perdere 180, posso trasformare questo problema in un problema equivalente dove ho la probabilita' di vincere X col 55% e perdere X col 45% ? ossia trovare un X in modo che la soluzione del quesito resti immutata ?
se riesco nell'obiettivo di fare questa "trasformazione" ce l'ho fatta, posso usare la formula della rovina del giocatore.
Questo X quindi come si trova ? io ho pensato sfruttando il valore atteso, infatti se due situazioni hanno lo stesso valore atteso allora dovrebbero comportarsi allo stesso modo in termini di probabilita'.

Prima di tutto calcoliamo il valore atteso della scommessa:

$ [E] = [1000 + (0,55 * 200)] - [1000 + 0,45 * 180] = 29 $

bene, adesso scriviamo il valore atteso del problema trasformato:

$ [E2] = [1000 + (0,55 * X)] - [1000 + 0,45 * X] = 29 $

quindi risolviamo:

$
[E2] = (0,55X) - 0,45X = 29
$
$
[E2] = X = 290
$

Quindi avere il 55% di probabilita' di vincere 200 e il 45% di perdere 180 e' come avere il 55% di probabilita' di vincere 290 e il 45% di perdere 290.
Ora possiamo usare la formula della rovina del giocatore perche' $290 = 290$.
Siccome il numero di scommesse tende a infinito, possiamo interpretare il problema come se il banco avesse un capitale infinito mentre noi appunto i nostri 1000.
La formula inoltre da' per scontato che tra il nostro capitale A e il capitale del banco B ci siano flussi pari all'unita', quindi al posto di A dobbiamo mettere $1000/290=3,4482$ (in pratica e' come se avessimo 3,4482 euro e ci fossero flussi di 1 euro, appunto l'unita').
Inoltre il capitale del banco e' infinito quindi il denominatore della formula diventa:

$ B → ∞ = P = [1 - (q/p)^A) / (1 - (q/p)^(A+∞)] = [1 - (q/p)^A) / 1 $

quindi

$ P = 1 - (0.45/0.55)^3.4482 = 0.4994 = 49.94% $

quindi la probabilita' di perdere tutto sara':

$ 1 - 49.94% = 50,06% $

in pratica l'assunto era che se il valore atteso e' lo stesso allora il comportamento in termini di probabilita' sarebbe stato lo stesso.
Il ragionamento sembrava filare eppure non fila proprio.
Poi riflettendoci meglio (anche grazie al confronto con voi) ho capito che e' un ragionamento sbagliato, in effetti due scommesse possono avere lo stesso valore atteso (cioe' la stessa "media di scenari") ma la distribuzione delle probabilita' puo' essere differente...

Se e' sbagliato il mio approccio non riesco proprio ad immaginare come si fa.

Idee ? :-)
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Re: Probabilità di bruciare il conto con un rapporto guadagno/perdita diverso da 1

Messaggioda markowitz » 02/04/2019, 09:23

Ora non ho tempo di guardare bene il tuo ragionamento, ma lo farò.
Il problema è più semplice di quello che immagini. Ragiona così:

$V = 200$ = incasso in caso di vincita
$B = 180$ = esborso in caso perdita
$G$ = guadagno (incasso e/o esbrso netto)
$p = 0,55$ = prob di vincita

$E[G] = V*p - B*(1-p) = 29$

quindi, in termini attesi, guadagni $29$ (diciamo euro) ad ogni passo.
La probabilità di rovina dipende dal numero di passi ipotizzati e non solo dal capitale iniziale che hai scritto. Prova ad andare avanti.
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Re: Probabilità di bruciare il conto con un rapporto guadagno/perdita diverso da 1

Messaggioda Bokonon » 02/04/2019, 12:13

XXXXX Ti risulta il 31%?

P.S. Visto che non ci sono specifiche ho assunto che il gioco si fermi quando il capitale è $<=0$
Ultima modifica di tommik il 03/04/2019, 08:20, modificato 2 volte in totale.
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Re: Probabilità di bruciare il conto con un rapporto guadagno/perdita diverso da 1

Messaggioda markowitz » 02/04/2019, 13:44

Bokonon ha scritto:XXXXX Ti risulta il 31%?

P.S. Visto che non ci sono specifiche ho assunto che il gioco si fermi quando il capitale è $ <=0 $


Scusa se mi intrometto ma per il P.S. direi che con perdere tutto il capitale si intenda proprio quello.
Per la soluzione direi che:

innanzittutto
Eryka ha scritto:...
Vorrei adesso spiegarvi questo mio dubbio. Sono diversi giorni che ci provo, ma non riesco a venirne a capo :evil:

Le ipotesi sono le seguenti:

- capitale = 1000
- probabilita' di vincita = 55%
- vincita = 200
- perdita = 180

Il problema consiste nel calcolare la probabilita' di perdere tutto il capitale per un numero di scommesse che tende a infinito.


avevo perso questa precisazione.

Adesso,
Se $n<6$ prove, la rovina è impossibile
per perdere il capitale (rovinarsi) c'è bisogno di almeno $n=6$ prove ed in questo caso la prob di rovina è poco superiore allo $0,83%$. Se $n>6$ le cose si complicano anche perchè diventa rilevante l'ordine dei successi.

Comunque, magari mi sbaglio, ma ad occhio $31%$ mi sembra tanto.
markowitz
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Re: Probabilità di bruciare il conto con un rapporto guadagno/perdita diverso da 1

Messaggioda Eryka » 09/04/2019, 00:24

markowitz ha scritto:Ora non ho tempo di guardare bene il tuo ragionamento, ma lo farò.
Il problema è più semplice di quello che immagini. Ragiona così:

$V = 200$ = incasso in caso di vincita
$B = 180$ = esborso in caso perdita
$G$ = guadagno (incasso e/o esbrso netto)
$p = 0,55$ = prob di vincita

$E[G] = V*p - B*(1-p) = 29$

quindi, in termini attesi, guadagni $29$ (diciamo euro) ad ogni passo.
La probabilità di rovina dipende dal numero di passi ipotizzati e non solo dal capitale iniziale che hai scritto. Prova ad andare avanti.


ho provato e riprovato, considera che i passi ipotizzati tendono a infinito, ma la considerazione del valore atteso purtroppo non regge. Se tu hai un dato capitale iniziale sicuramente la probabilita' di perderlo tutto sono moltissimo legate alla probabilita' di vincita, credo molto piu' che al rapporto tra guadagno e vincita. L'avevo intuito ragionando sull'esempio estremo, tipo se hai il 99% di probabilita' di perdere 20 e l'1% di guadagnare 500, nonostante il rapporto favorevole vincita/perdita quasi sicuramente perderai tutto. Trasformare il problema come ho provato convertendolo col criterio del valore atteso non e' corretto proprio per quel motivo... :roll:

markowitz ha scritto:
Bokonon ha scritto:XXXXX Ti risulta il 31%?

P.S. Visto che non ci sono specifiche ho assunto che il gioco si fermi quando il capitale è $ <=0 $


Scusa se mi intrometto ma per il P.S. direi che con perdere tutto il capitale si intenda proprio quello.
Per la soluzione direi che:

innanzittutto
Eryka ha scritto:...
Vorrei adesso spiegarvi questo mio dubbio. Sono diversi giorni che ci provo, ma non riesco a venirne a capo :evil:

Le ipotesi sono le seguenti:

- capitale = 1000
- probabilita' di vincita = 55%
- vincita = 200
- perdita = 180

Il problema consiste nel calcolare la probabilita' di perdere tutto il capitale per un numero di scommesse che tende a infinito.


avevo perso questa precisazione.

Adesso,
Se $n<6$ prove, la rovina è impossibile
per perdere il capitale (rovinarsi) c'è bisogno di almeno $n=6$ prove ed in questo caso la prob di rovina è poco superiore allo $0,83%$. Se $n>6$ le cose si complicano anche perchè diventa rilevante l'ordine dei successi.

Comunque, magari mi sbaglio, ma ad occhio $31%$ mi sembra tanto.



mi spieghi come hai calcolato ??
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Re: Probabilità di bruciare il conto con un rapporto guadagno/perdita diverso da 1

Messaggioda Bokonon » 09/04/2019, 00:32

@Eryka
No, perchè non è corretto. Il problema è posto male ma ho voluto comunque provare un'idea ragionando solo sul caso ad $oo$
Quella risposta vale solo sotto certe condizioni, non era una risposta al thread.
Ho provato anche a raffinare il mio "gioco" personale ma sarebbe totalmente off topic e comunque non rilevante.
Ripeto, il problema è posto male.
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Re: Probabilità di bruciare il conto con un rapporto guadagno/perdita diverso da 1

Messaggioda Eryka » 09/04/2019, 03:35

Bokonon ha scritto:@Eryka
No, perchè non è corretto. Il problema è posto male ma ho voluto comunque provare un'idea ragionando solo sul caso ad $oo$
Quella risposta vale solo sotto certe condizioni, non era una risposta al thread.
Ho provato anche a raffinare il mio "gioco" personale ma sarebbe totalmente off topic e comunque non rilevante.
Ripeto, il problema è posto male.


... perche' e' posto male?? cosa non e' chiaro? :|
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Re: Probabilità di bruciare il conto con un rapporto guadagno/perdita diverso da 1

Messaggioda markowitz » 09/04/2019, 10:36

Eryka ha scritto:
markowitz ha scritto:...
La probabilità di rovina dipende dal numero di passi ipotizzati e non solo dal capitale iniziale che hai scritto. Prova ad andare avanti.


ho provato e riprovato, considera che i passi ipotizzati tendono a infinito, ma la considerazione del valore atteso purtroppo non regge. Se tu hai un dato capitale iniziale sicuramente la probabilita' di perderlo tutto sono moltissimo legate alla probabilita' di vincita, credo molto piu' che al rapporto tra guadagno e vincita. L'avevo intuito ragionando sull'esempio estremo, tipo se hai il 99% di probabilita' di perdere 20 e l'1% di guadagnare 500, nonostante il rapporto favorevole vincita/perdita quasi sicuramente perderai tutto. Trasformare il problema come ho provato convertendolo col criterio del valore atteso non e' corretto proprio per quel motivo... :roll:


Lo so che i pasi tendono ad infinito è l'ho precisato, altrimenti il problema sarebbe stato sicuramente mal posto.
Dici che la considerazione sul valore atteso non regge ... ma in che senso?
Poi concludi che non è un metodo corretto, ma rispetto a cosa?
Dall'esempio che provi a fare non è chiaro.
Peraltro hai letto bene tutto ciò che ho scritto? Da quanto scrivi non sembra.
markowitz
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Re: Probabilità di bruciare il conto con un rapporto guadagno/perdita diverso da 1

Messaggioda Eryka » 10/04/2019, 01:49

markowitz ha scritto:
Eryka ha scritto:
markowitz ha scritto:...
La probabilità di rovina dipende dal numero di passi ipotizzati e non solo dal capitale iniziale che hai scritto. Prova ad andare avanti.


ho provato e riprovato, considera che i passi ipotizzati tendono a infinito, ma la considerazione del valore atteso purtroppo non regge. Se tu hai un dato capitale iniziale sicuramente la probabilita' di perderlo tutto sono moltissimo legate alla probabilita' di vincita, credo molto piu' che al rapporto tra guadagno e vincita. L'avevo intuito ragionando sull'esempio estremo, tipo se hai il 99% di probabilita' di perdere 20 e l'1% di guadagnare 500, nonostante il rapporto favorevole vincita/perdita quasi sicuramente perderai tutto. Trasformare il problema come ho provato convertendolo col criterio del valore atteso non e' corretto proprio per quel motivo... :roll:


Lo so che i pasi tendono ad infinito è l'ho precisato, altrimenti il problema sarebbe stato sicuramente mal posto.
Dici che la considerazione sul valore atteso non regge ... ma in che senso?
Poi concludi che non è un metodo corretto, ma rispetto a cosa?
Dall'esempio che provi a fare non è chiaro.
Peraltro hai letto bene tutto ciò che ho scritto? Da quanto scrivi non sembra.


certo che ho letto !!! :-)
non capisco come implementare il valore atteso per risolverlo.
Col capitale iniziale di 1000 sapere che in termini di valore atteso guadagno 29$ come puo' farmi sapere la probabilita' di perdere tutto???
io ho provato a convertire il problema come avevo spiegato all'inizio ma non mi ha funzionato.
Tu come lo risolvi?
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Re: Probabilità di bruciare il conto con un rapporto guadagno/perdita diverso da 1

Messaggioda markowitz » 10/04/2019, 13:22

Eryka ha scritto:non capisco come implementare il valore atteso per risolverlo.
Col capitale iniziale di 1000 sapere che in termini di valore atteso guadagno 29$ come puo' farmi sapere la probabilita' di perdere tutto???

questo è un commento più opportuno.
Per ottenere la probabilità che cerchi devi trovare una distribuzione di riferimento, in questo caso ci si può anche riferire ad un processo stocastico. Tuttavia anche i momenti ti possono dare indicazioni utili per ragionare ed è quello che ti consigliavo di fare. D'altra parte è un problema non semplice e la possibilità di risolvere problemi diffici dipende anche dalle proprie competenze.
Sapere che ad ogni passo hai un guadagno atteso di $29$ euro non risponde direttamente alla domanda iniziale ma è comunque molto utile per chiarirsi un po le idee a livello, almeno, qualitativo.
Prova a considerare il problema ammettendo la possibilità che se vai negativo di capitale continui a giocare comunque fino ad infinito è prova a dire la probabilità di rovina (diciamo asintotica) solo ragionando coi momenti.

Eryka ha scritto:certo che ho letto !!! :-)
Tu come lo risolvi?

Allora, tra l'altro, dovresti anche aver letto che ho dato un'altra indicazione per la soluzione "diretta" del problema .... ed anche se non è una soluzione è comunque, di nuovo, utile. Puoi provare anche a proseguire per quella strada e dirmi cosa trovi.
Per il resto non ho mai detto di aver risolto il problema ed anche lo avessi fatto non sarei tenuto a darti la soluzione. Peraltro, a mia opinione, l'aiuto principale che ti posso dare, io come altri, è quello di indirizzarti sulla linea di ragionamento corretta e non quella di dare soluzioni.
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