Statistica,Stimatore,Funzione test

[motonic949392]

Se ho una $Y->Ber(θ)$ con $θin(0,1)$ e ho $y=(y_1,...,y_n)$ un CCS estratto da un modello statistico bernoulliano, la quantità $T_1(y)=(sum_{i=1)^n y_i ,sum_{i=1)^n e^(y_i))$ è una statistica? È uno stimatore? È una funzione test?

Io ho provato a risolverlo così:
ho impostato il caso per $n=2$, quindi come spazio campionario $S={(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}$
Prendendo la definizione di statistica $T:S->R$ funzione indipendente di θ ho che sia t1 che t2 sono indipendenti da θ quindi sono statistiche.
Non è uno stimatore poiché $T:S->Θ$ ho che $sum_{i=1)^n e^(y_i)$ va fuori Θ.
Se è una statistica allora è anche una funzione test in quando per definizione una funzione test è una funzione $T:S->R$.
È giusto il mio ragionamento?

[Bokonon]

Giuro che non ho capito nulla di ciò che hai scritto...anche perchè non ho capito esattamente cosa vuoi dimostrare e soprattutto perchè. Quindi non so che dirti sulla tua "dimostrazione", mi spiace.

Piuttosto, perchè non guardi quelle due sommatorie? Cosa ti dicono? Come puoi riscriverle?
Hint: Il vettore y sono prove ripetute di una bernoulliana e quelle sommatorie "estraggono" qualcosa da quel campione. Prova a chiamare "1" il successo e indicare con k il numero di successi presenti nel vettore y.

[Bokonon]

$T_1(y)=(sum_{i=1)^n y_i ,sum_{i=1)^n e^(y_i))$

Se definiamo "successi" gli "1" e indichiamo con k il numero di successi nelle prove ripetute:
$sum_{i=1)^n y_i=k=n(k/n)=nhat(theta)$
$sum_{i=1)^n e^(y_i)=(n-k)+ke=n[(n-k)/n+k/n e]=n[(1-hat(theta))+hat(theta)e^1]$

Da cui $(T_1(y))/n=[hat(theta), (1-hat(theta))+hat(theta)e^1]$
Non è un caso che abbiano messo un "1" come pedice a T: è lo stimatore di $theta$ e del primo momento della bernoulliana.

[tommik]

T: è lo stimatore di $theta$ e del primo momento della bernoulliana.

avrei preferito che lo correggesse chi l'ha scritto ma, visto che l'OP si è collegato, lo faccio io; è una semplice svista ma intende il momento primo di una funzione della bernulliana e precisamente di $X=e^Y$

Il refuso è ovvio in quanto $theta$ è il momento primo (ma anche secondo, terzo, ....$"n-esimo"$) della bernulliana.

Quindi la risposta alla domanda è la seguente; Entrambe le quantità fornite dal testo sono Statisiche, essendo funzioni della $"n-upla"$ campionaria e solo dei dati.
Come statistiche, possono essere usate come stimatori ed anche come funzioni Test. Dipende da cosa si vuole andare a stimare o a testare

[Bokonon]

La madonna Tommik! Eccomi, stavo ragionando e scrivendo un altro post...
Si, in effetti ho scritto come un cane. E' la stima della funzione generatrice dei momenti per t=1.