Dimostrazione inerente alla covarianza

[NutriaBirichina]

Buongiorno ragazzi,

Prima di tutto mi scuso per questo titolo sgraziato, ma non mi è venuto in mente niente di meglio.
Detto ciò, sono alcuni giorni che cerco di ricavare una dimostrazione o un controesempio, con scarsi risultati, al seguente enunciato:
Date n variabili aleatorie, se queste hanno la stessa varianza e per ciascuna coppia la medesima covarianza, allora la covarianza è positiva o al più. zero In altre parole esistono n variabili aleatorie, le cui coppie abbiano la stessa covarianza negativa?
E nel caso in cui avessero varianze e covarianze diverse, ma quest'ultime negative?
Inoltre una dimostrazione che ho prodotto richiederebbe soltanto la proprietà della disuguaglianza triangolare per la covarianza per essere conclusa, ma dal momento che non è trovato menzione in alcun manuale non vedo perché dovrebbe valere.

Spero di essere stato chiaro, ometto volutamente da dove nasca il dubbio, nel caso lo specificherò in seguito.
Grazie a chiunque si cimenterà.

Best wishes
NutriaBirichina

[NutriaBirichina]

Ciao, non ho capito tanto.
Tu hai $n$ variabili aleatorie $X_1, ..., X_n$ con $Var(X_i)=Var(X_j)$ per ogni $i, j$ e con $Cov(X_i, X_j)=Cov(X_k, X_l)$ per ogni $i, j, k, l$. Vorresti dedurne che allora $Cov(X_i, X_j)\ge0 \forall i,j$?
Se è così mi sembra falso: prendi anche solo due variabili aleatorie una l'opposta dell'altra.

Ciao Arnett, innanzitutto ti ringrazio per la risposta.
Preciso che $n>2$ altrimenti l'enunciato è triviale.
Se prendi due variabili aleatorie una l'opposta dell'altra, ovviamente la covarianza sarà negativa, ma volendone considerare una terza, che per semplicità non sia incorrelata con nessuna delle prime due, come deve essere fatta per avere covarianza negativa con entrambe? Intuitivamente, se le $X_1$ è inversamente proporzionale con $X_2$ e lo stesso per $X_2$ e $X_3$, mi aspetto che $X_1$ e $X_3$ siano direttamente proporzionali.

[Bokonon]

Ok, non userò la notazione statistica perchè francamente è assai più facile e immediato usando l'algebra lineare.
Spero che possa essere comunque utile.
Una matrice A di dimensione nxm con n>>m è la rappresentazione di un campione di n elementi per m variabili $X_i$.
Per comodità si depurano le colonne delle rispettive medie (una semplice traslazione).
Il prodotto $A^TA=S$ restituisce una matrice simmetrica di dimensione mxm la cui diagonale sono le $Dev(X_i)$ e gli elementi esterni sono le $Codev(X_i,X_j)$ ovvero S è composta da tutti i possibili prodotti scalari $<X_i,X_j>$

Poniamo le condizioni $Dev(X_i)=<X_i,X_i> =||X_i||^2=a$ e $Codev(X_i,X_j)=<X_i,X_j> =b$
Da cui segue che:
$Codev(X_i,X_j)=<X_i,X_j> =||X_i||*||X_j||*cos(alpha_(i,j))=||X_i||^2*cos(alpha_(i,j))=acos(alpha_(i,j))=b$

Perciò la condizione mi dice che $cos(alpha_(i,j))=b/a$ per qualsiasi coppia i,j.
Tradotto le $X_i$ sono assi che a coppie formano sempre il medesimo angolo.
Se le variabili sono ortogonali allora b=0.
In tutti gli altri casi la covarianza dipende ovviamente dal segno di b. Se l'angolo fra ogni coppia di assi è compreso (in valore assoluto) $0<alpha<pi/2$ allora gli assi/variabili sono covarianti e viceversa.
Quindi non è vero che tutte le covarianze debbano essere per forze positive o uguali a zero...possono essere anche tutte negative. Ciò che non possibile è che siano "miste".

[NutriaBirichina]

Ciao Bokonon, grazie della risposta.
La dimostrazione mi risulta chiara fino a b=0, da ciò ho qualche dubbio.
Prima di tutto cosa intendi con "gli assi/variabili sono covarianti"? Intendi dire che le covarianze sono positive? Perché nell'intervallo che hai menzionato per l'angolo il coseno è positivo.
Inoltre immaginando, come detto precedentemente, di avere 3 variabili, affinché le covarianze siano tutte negative l'angolo tra ciascuna coppia di esse deve essere maggiore di $pi/2$, più precisamente $pi/2<alpha_i<3/2*pi$.
Fissato un $epsilon$ piccolo quanto si vuole e considerando, senza perdere di generalità, la prima variabile/vettore giacente sull'asse $x$, l'angolo tra $X_1$ e $X_2$ è pari a $pi/2+epsilon$, similmente l'angolo tra $X_2$ e $X_3$ è uguale $pi+2*epsilon$, da ciò possiamo concludere che l'angolo tra $X_1$ e $X_3$ è pari a $3/2*pi+3*epsilon$, che è al di fuori di tale intervallo, e, dunque sebbene le prime due covarianze siano negative, la terza è positiva. Da ciò si conclude che a meno di considerare soltanto due variabili aleatorie la covarianza è positiva o nulla.
In parole povere il problema risiede nel fatto che non è possibile dividere l'ampiezza pari a $pi$ di $pi/2<alpha_i<3/2*pi$ in più di 2 parti e contemporaneamente ciascuna parte sia maggiore di $pi/2$.
Fammi sapere se il ragionamento ti torna, e nel caso se hai una dimostrazione più elegante fammela pervenire.

[Bokonon]

Temo che tu non abbia letto bene. Ho scritto in "valore assoluto", perchè per comodità si considera solo l'angolo acuto fra i due vettori/variabili.


Vettori covarianti.
Rispetto al vettore rosso, il vettore nero può avere angolo $alpha$ o $-alpha$, è la stessa cosa. L'essenziale è che sia $0<|alpha|<pi/2$ .

In tutti i casi in cui $pi/2<|alpha|<pi$ sono controvarianti



Se tutte le varianze e covarianze sono identiche, allora le coppie di variabili/vettori formano lo stesso angolo (acuto od ottuso) sul piano che li contiene entrambi.