Io so che se $M={M_t}_(t\in[0,T])$ è un processo definito sullo spazio filtrato $(\Omega,F,{F_t}_(t>=0),P)$ associato ad un altro processo $Z={Z_t}_(t\in[0,T])$ che si assume per ipotesi quadrato-integrabile, allora $M_t$ è una martingala esponenziale se è definita dalla dinamica $M_t=exp{\int_(0)^(t)z_sdW_s-1/2 \int_(0)^(t)z_s^2ds}$, dove tale martingalità finisce per essere subordinata alla verifica che un processo \( \widetilde{W} _t \) definito dalla relazione \( \widetilde{W} _t \)$:=W_t-\int_(0)^(t)z_sds$ è un MB sotto la misura equivalente $QQ$. Ora, come si vede dalla definizione, il parametro stocastico compare all'interno del primo integrale. Fin qui tutto bene.
Dalla immagine qui sotto (che mi scuso in anticipo per avere allegato ma dovevo darvi contezza del dubbio che mi è sorto) emerge che la dinamica di $i_(swaption)^(T_0)$ in prima riga è un MBG privo di drift. Ciò implica (in seconda riga) che se $i_(swaption)^(T_0)$ si distribuisce come una Normale, $i_(swaption)^(t)$ si distribuisce come una log-Normale. Bene anche qui.
Tuttavia, come si vede, al momento di calcolare i momenti della Normale il parametro stocastico $W$ si trova all'interno del secondo integrale, che invece per la costruzione della misura equivalente $QQ$ sotto Girsanov tramite martingala esponenziale dovrebbe trovarsi all'interno del primo. Ora, è evidente che la varianza della Normale è stata ottenuta applicando l'isometria di Ito (che fa scomparire il $dWs$ e comparire il $ds$), ma non capisco perchè tale parametro si trovi in quel secondo integrale. So per certo che la definizione di martingala esponenziale è corretta, quindi non capisco perchè tale scrittura. E' possibile un errore del docente? Anche se questo, però, non spiegherebbe l'applicazione (corretta) dell'isometria per il calcolo della varianza…
Spero che possiate aiutarmi! Grazie mille in anticipo e mi scuso se mi sono dilungato!
