Funzione di distribuzione

[Gigino99]

Buonasera,
Ho il seguente problema, non ne riesco ad andare fuori.
Si consideri la seguente funzione di distribuzione, di ripartizione, mista.

\(\displaystyle F(x) = \left\{
\begin{array}{ll}\
0 & x < 1 \\
0.12 & 1 \leq x < 2 \\
0.285 & 2 \leq x < 3 \\
0.5 & x = 3 \\
0.5 + \frac{1}{4} (x-3) & 3 < x \leq 5 \\
1 & x > 5
\end{array}
\right. \)

Qual è la probabilità di dell'intervallo \(\displaystyle [ 5 , 7 ) \) ?

La risoluzione del seguente problema da quello che ho capito non è semplice come la penso io.
Per risolvere questo problema io semplicemente farei
\(\displaystyle F(7)-F(5)=1-1=0 \)
ma questa soluzione mi sembra ovviamente sbagliata dato che se prendo un intervallo in cui la probabilità iniziale è 1 e la probabilità finale è 1, la risposta è ovviamente 1.
Inoltre il problema chiede:
Qual è la probabilità di dell'intervallo \(\displaystyle [ 2 , 3 ) \) ?
In questo punto ho sempre lo stesso dubbio. Se provo a risolverlo con lo stesso metodo farei: \(\displaystyle F(3^-)-F(2)=0.285-0.285=0 \) dato che i due punti hanno la stessa probabilità.
Sto vedendo l'esercizio in modo errato, oppure i miei ragionamenti sono corretti?
Grazie in anticipo.

[mide]

Potresti vederla in questo modo. $F(5)=1$ vuol dire che $P(X<5)=1$ e quindi è certo che $X$ assuma valori $<5$ e quindi a maggior ragione non potrà essere compresa in $[5,7)$.
In alternativa puoi derivare $F(x)$ trovando $f(x)$ e calcolarti le aree degli intervalli richiesti.

[tommik]

In alternativa puoi derivare $F(x)$ trovando $f(x)$ e calcolarti le aree degli intervalli richiesti.

occhio che la variabile in questione non è assolutamente continua...quindi questo vale solo negli intervalli in cui è continua. Nei punti dove la variabile concentra massa di probabilità positiva la $f(x_0)=F(x_0)-F(x_0^-)$. Attenzione anche a definire $F(5)=mathbb{P}[X<5]$. In questo caso va bene perché lì è continua ma potrebbe essere sbagliato in altri punti. Per non sbagliare occorre usare la definizione giusta, ovvero $F(5)=mathbb{P}[X<=5]$


Comunque, Gigino, o come ti chiamavi prima di farti cambiare nome, ciò che hai fatto è tutto giusto ma si poteva arrivarci anche senza fare alcun conto. Infatti negli intervalli richiesti, la Funzione di ripartizione o Distribuzione o CDF è costante....e la probabilità che la variabile assuma valori in un determinato intervallo è data dalla variazione che la CDF ha in quegli intervalli...ovvero ZERO.

[mide]

occhio che la variabile in questione non è assolutamente continua...quindi questo vale solo negli intervalli in cui è continua. Nei punti dove la variabile concentra massa di probabilità positiva la $f(x_0)=F(x_0)-F(x_0^-)$. Attenzione anche a definire $F(5)=mathbb{P}[X<5]$. In questo caso va bene perché lì è continua ma potrebbe essere sbagliato in altri punti. Per non sbagliare occorre usare la definizione giusta, ovvero $F(5)=mathbb{P}[X<=5]$

Si scusa hai ragione. Nel secondo caso è stata solo una svista, devo essere più preciso . Nel primo invece, intendi che otterrei una delta di area $f(x_0)=F(x_0)-F(x_0^-)$?

[tommik]

prova a disegnare il grafico della $f$ e te ne accorgi. Cosa succede nei punti

$x=1$, $x=2$ e $x=3$ ??

$f(1)=0.120-0$

$f(2)=0.285-0.120$

$f(3)=0.500-0.285$

solo nell'altro intervallo puoi derivare ottenendo una densità uniforme.....chiaro ora?

[mide]

Perdonami, ma io so che quando $F(x)$ è costante a tratti, lasua derivata presenta delle delta nei punti di discontinuità. Per cui in questo caso, essendo un intervallo continuo ma con discontinuità, si ha ad esempio $P(x=1)=0.12=p_{x_1}$ e quindi $f(x)=p_{x_1}\delta(x-1) + ... $. Cosa mi sfugge?

[tommik]

va bene ma per calcolare le varie $p(x_i)$ devi fare la differenza che ti ho indicato

$p(x_i)=F(x_i)-F(x_i^-)$

se poi ci vuoi mettere di fianco la delta va bene ma non ti cambia nulla. È solo una notazione compatta ma potresti indicarla anche in altro modo.

es così

$f_X(x)={{: ( p(x_1) , ;x=x_1),( p(x_2) , ;x=x_2) :}$

ecc ecc

ciò che conta è il calcolo della massa di probabilità che si concentra in quel punto

[mide]

ciò che conta è il calcolo della massa di probabilità che si concentra in quel punto

Adesso ho capito cosa ho mancato. Effettivamente avrei dovuto specificarlo, come giustamente mi hai fatto notare. Cercherò di stare più attento la prossima volta.
Grazie