Esercizio sulla media di variabili aleatorie

[Elia1999]

Salve, guardando un vecchio esame ho notato questo esercizio :

Siano \(\displaystyle X, Y, Z \) tre variabili aleatorie indipendenti tutte con densità \(\displaystyle geometrica(1/2) \). Qual'è la media di \(\displaystyle min(X, Y, Z) \) ?

La media di una variabile aleatoria geometrica \(\displaystyle X \) di parametro \(\displaystyle (p) \) è \(\displaystyle E(X)=1/p \). Il fatto che siano indipendenti implica che \(\displaystyle E(XY)=E(X)E(Y) \) ma non so come mi possa essere d'aiuto. Poi richiede il minimo, non so proprio cosa fare.

[tommik]

... non so proprio cosa fare.

Non si possono fare gli esercizi per tentativi. Occorre prima studiare la teoria sottostante.

Intanto occorrerebbe sapere che tipo di distribuzione geometrica intendi, perché ne esistono di due parametrizzazioni differenti. Dato che hai scritto $mathbb{E}[X]=1/p$ singifica che è la geometrica definita su $x=1,2,3,.....$, ovvero quella che conta il numero di tentativi prima del primo successo (esiste anche quella che conta il numero di fallimenti)

Quindi la CDF di ogni variabile $X,Y,Z$ è questa

$F=1-1/2^k$

La CDF del minimo è, ovviamente

$F_(min)=1-(1/2^k)^3=1-(1/2^3)^k=1-(1-7/8)^k$

da cui riconosciamo subito la CDF di una geometrica di parametro $7/8$....ergo la media è $8/7$

[Elia1999]

Scusa ma la geometrica non dovrebbe essere \(\displaystyle p(1-p)^{k-1} \) ? Come fa a riuscire \(\displaystyle 1- \frac {1}{2^k} \) ?