Esercizietto probabilità condizionata

[ddr1995]

Ciao ragazzi , mi servirebbe una mano per capire questo esercizio.
Ho due sacchetti A e B; il sacchetto A contiene soltanto monete regolari( Testa/Croce) , mentre il sacchetto B solo monete irregolari ( Testa/Testa).

Pesco una moneta da un sacchetto random( non so quale) , la lancio e guardo cosa esce.
Supponendo che al primo lancio abbia ottenuto testa, pesco un 'altra moneta dallo stesso sacchetto di prima, la rilancio e vedo cosa esce.
1) Qual è la probabilità che al primo lancio esca testa?

2)Qual è la probabilità che al secondo lancio esca testa?


Allora, il punto 1 l'ho svolto così:
$P(T_1)=1/2*1/2 + 1/2 * 1 = 3/4$

Tuttavia ho problemi con il secondo punto , qualcuno potrebbe spiegarmi come si procede?
Vi ringrazio!

[anto_zoolander]

Ciao!

L'esercizio non è ben chiaro.
Perché per come hai scritto sembra(per il punto 1): "se al primo lancio esce testa, qual è la probabilità che al primo lancio esca testa?"

Quindi penso ti riferissi piuttosto:

Pesco una moneta da un sacchetto random( non so quale) , la lancio e guardo cosa esce.
1) qual è la probabilità che esca testa?
Supponendo che al primo lancio abbia ottenuto testa, pesco un 'altra moneta dallo stesso sacchetto di prima, la rilancio e vedo cosa esce.
2) qual è la probabilità che al secondo lancio esca di nuovo testa?

Ad ogni modo mi sembra che i lanci siano indipendenti. Questo mi sembra motivato dal fatto che gli eventi "pesco la moneta truccata" e "pesco la moneta non truccata" siano considerati equiprobabili, visto che non vedo alcuna dipendenza della probabilità, per esempio, dal numero di monete.

Quindi tale probabilità sarebbe nuovamente $3/4$.

[ddr1995]

Ciao , si in realtà il testo l'ho riscritto io (evidentemente male) perché l'esercizio riguarda tutt'altra cosa (analisi delle decisioni utilizzando decision tree)
Provo comunque a postarti il testo:
https://ibb.co/b57J32V

Praticamente quello che serve a me sarebbe la probabilità di avere testa o croce al secondo lancio ,supponendo di aver ottenuto testa al primo.
Dagli appunti che ho io( non miei ovviamente) , i risultati dovrebbero essere questi:
https://ibb.co/q0W779h

[anto_zoolander]

Negli appunti usa prima il fatto che $P(T)=3/4$ per poi trovare che $P(T)=0.835$ ma ne è sicuro?

Comunque si è un po' diverso il testo.
Consideriamo gli eventi $A$ "il primo lancio è testa", $B$ "il secondo lancio è testa", $T$ "il sacchetto è truccato"

la probabilità che esca testa al primo o al secondo lancio è indipendente da quando avviene il lancio, dipende soltanto dal sacchetto.

$P(B)=P(B|T)P(T)+P(B|T^c)P(T^c)=3/4=75%$

ora $3/4=P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)=B(B|A)*3/4+1/2*1/4=3/4P(B|A)+1/8$

a questo punto si ricava $P(B|A)$ con

$1=P(B|A)+1/6 => P(B|A)=5/6 approx 83,3%$

mentre se il primo lancio è croce avremo

$P(B|A^c)=1/2=50%$

quindi è chiaro che la conoscenza del primo risultato alza di molto la probabilità che se esce testa all'inizio, continui ad uscire testa e tecnicamente è conveniente andare avanti in questo caso.

Sarebbe interessante calcolare il guadagno a lungo termine.

[Bokonon]

E' un'applicazione del teorema di Bayes.
La probabilità di pescare da uno dei due sacchetti A e B è uniforme quindi $P(A)=P(B)=1/2$
Indichiamo con E l'evento testa/croce.

$P(A|E)=(P(E|A)P(A))/(P(E|A)P(A)+P(E|B)P(B))=1-P(B|E)$

Tradotto, la probabilità a posteriori di aver pescato la moneta dal sacchetto A dato l'evento E è data dalla probabilità di aver pescato effettivamente da A per la probabilità che avvenisse l'evento E se si fosse pescato da A, fratto il fattore di normalizzazione (che in questo caso è la probabilità totale di entrambe le possibilità).

Se E=croce allora è evidente che $P(E|B)=0$ perchè non potrebbe uscire croce e questo implica che $P(A|E)=1$ come dev'essere.
Tradotto, abbiamo certamente pescato dal sacchetto A. A questo punto abbiamo $EV=0$ ovvero la vincita media attesa è zero, quindi è un gioco privo di senso...tanto vale pagare i 10 euro e chiuderla la.

Se E=T, allora $P(E|B)=1$ mentre sappiamo che è sempre $P(E|A)=1/2$
$P(A|E)=((1/2)*(1/2))/((1/2)*(1/2)+1*(1/2))=1/3$
Da cui $P(B|E)=2/3$

Quindi dato l'evento "è uscita testa" dobbiamo attenderci, in media, di pescare la moneta dal sacchetto B 2 volte su 3.
Segue che ci attendiamo in media che esca un'altra testa con probabilità $P(T)=P(A|E)*P(E|A)+P(B|E)*P(E|B)=5/6$
Il valore atteso stavolta è $EV=(5/6)*60-(1/6)*60=+40 euro$
Conviene quindi continuare finchè non esca croce...e la probabilità che accada tenderà rapidamente a zero come si può calcolare riaggiornando la probabilità con Bayes perchè $P(E|A)P(A)=(1/2)^(t+1)$ dove t è il numero di teste consecutive.