anto_zoolander ha scritto:Consideriamo di avere un evento $E$ la cui probabilità di riuscita è $q$
Supponiamo di effettuare $k$ prove e desiderare $n$ successi. Qual è la probabilità che ciò avvenga?
La soluzione dovrebbe essere $P_(n,k)=((n),(k))q^n(1-q)^(n-k)$
No; intanto è necessario ipotizzare che le $n$ prove siano stocasticamente indipendenti (campione casuale semplice)
Il risultato corretto è $((k),(n))q^n(1-q)^(k-n)$
Tanto per diminuire il grado di confusione e considerando che vi sono numerose altre leggi di probabilità collegate ad esperimenti simili (Binomiale negativa, Pascal, Geometriche varie), in Statistica, in un modello Bernulliano con prove ripetute ed indipendenti (modello Binomiale), è consuetudine
1) indicare con $p$ la probabilità di successo e $q=(1-p)$ quella dell'insuccesso. Oppure $theta$ quella del successo e $(1-theta)$ quella dell'insuccesso
1.
2) usare le lettere $m$ oppure $n$ per indicare il numero di prove (dato) fra le quali si vuole calcolare la probabilità di avere un numero $0<=x<=n$ successi
3) indicare il numero di successi con $x,y,k,s,t$ ecc ecc....
Aspettando la dimostrazione formale di @arnett (che leggerò sicuramente con molto interesse), secondo me esite una dimostrazione valida e del tutto banale:
Calcoliamo la probabilità di avere esattamente i primi $x$ successi su $n>=x$ prove. Utilizzando il teorema di probabilità composta ottieni subito che tale probabilità è
$p^xq^(n-x)$
ora per rispondere alla domanda è sufficiente sapere quante combinazioni semplici (qundi dove l'ordine non conta) si possono avere con $n$ oggetti a gruppi di $k$..ovviamente $((n),(x))$
Immediatamente puoi trovare la legge che calcoli la probabilità
(i) che servano $n$ prove per avere $k$ fissati successi (Binomiale negativa)
(ii) che servano $f$ fallimenti prima di ottenere $k$ successi (Pascal)
fine.
consigli?
