Chiarimento sull'uso della Binomiale

[JustDani95]

Alla scatola $S$ contenente $10$ palline: $5$ colorate e $5$ numerate (da $1$ a $5$), Matteo aggiunge una pallina senza dire se sia colorata o se invece sia numerata col numero $6$.
Sapendo che Matteo ha preso la pallina a caso da una (seconda) scatola contenente un numero di palline colorate pari al doppio delle numerate con il numero $6$, calcola la probabilità di ottenere almeno una pallina con numero pari estraendo con ripetizione due palline.

Vi dico come ho ragionato io.
$X$=numero di palline numerate con numero pari
Mi sta chiedendo di calcolare $P(X>=1)$ che è come dire $1-P(X=0)$.
$P(X=0)$ me lo sono calcolato con una Binomiale, essendo le estrazioni con ripetizione: $P(X=0)=( (2), (0) ) \cdot (p)^0 \cdot (1-p)^2$
$p$ è la probabilità di non estrarre una pallina pari: $2/3 \cdot 14/16 + 1/3 \cdot 13/16$.

E' giusto come ragionamento o mi sono incartato su qualche passaggio?

P.S: la seconda scatola contiene 3 palline: 2 colorate e 1 col numero 6.

[Bokonon]

La binomiale è $C(2,k)p^kq^(2-k)$ ovvero due estrazioni con reinserimento e k sono i "successi".
E hai giustamente notato che $1-C(2,0)p^0q^2=p(2-p)$ è la prob. da cercare, ovvero la prob. di estrarre almeno una pallina pari.
Se ci sono 3 palline pari allora $p=3/11$ se invece ce ne sono due allora $p=2/11$
Inoltre la prob di aver estratto il 6 dalla seconda cesta è 1/3.

La probabilità cercata quindi è $1/3(3/11)(2-3/11)+2/3(2/11)(2-2/11)=137/363$

[JustDani95]

Scusate, ho copiato male il testo: 10 palline colorate e 5 numerate da 1 a 5.

E sì, intendevo dire estratte. Scusate ancora ma ero fuso oggi pomeriggio, sto rileggendo ora la soluzione ed il problema.

Sono con reinserimento.

Comunque l'utilizzo della binomiale, in questo caso, è corretto? Grazie mille per le risposte