Continuità della probabilità

[anti-spells]

Buonasera a tutti, qualcuno riesce ad aiutarmi con questa semplice dimostrazione? Ne cerco una "elegante" visto che è una delle poche dimostrazioni che devo conoscere:

Sia $(\Omega, P)$ uno spazio di probabilità. Per ogni successione $(A_n)_(n>=1)$ di eventi tali che $A_(n+1)subeA_n AA n>=1$ , si ha: $\lim_{n \to \infty}P(A_n) = P(nnn_{n=1}^(+\infty) A_n)$

Mi basta anche un link in cui è scritta, io non ne ho trovati (forse perchè è molto facile dimostrarla)

[anto_zoolander]

Ciao!

Questo segue immediatamente da un altro fatto nel contesto della probabilità, ossia:

sia $(Omega,F,P)$ uno spazio di probabilità e ${A_n}_(n in NN)subsetF$ una successione crescente di insiemi, allora

$lim_(n->+infty)P(A_n)=P(bigcup_(n=1)^(+infty)A_n)$

segue direttamente da questo fatto poiché se ${A_n}_(n in NN)subsetF$ è una successione decrescente di insiemi allora ${A_n^c}$ è una successione crescente pertanto

$lim_(n->+infty)P(A_n)=1-lim_(n->+infty)P(A_n^c)=1-P(bigcup_(n=1)^(+infty)A_n^c)=1-[1-P(bigcap_(n=1)^(+infty)A_n)]=P(bigcap_(n=1)^(+infty)A_n)$

quindi ti basta dimostrare la prima che si fa nel seguente modo

presa una successione ${A_n}_(n in NN)$ crescente definiamo $E_n={(A_nsetminusA_(n-1) if n>0),(A_0 if n=0):}$
puoi dimostrare che $bigcup_(n=1)^(+infty)E_n=bigcup_(n=1)^(+infty)A_n$ e che gli $E_n$ sono a due a due disgiunti.

a questo punto $P(bigcup_(n=0)^(+infty)A_n)=P(bigcup_(n=0)^(+infty)E_n)=sum_(n=0)^(+infty)P(E_n)=P(A_0)+sum_(n=1)^(+infty)[P(A_n)-P(A_(n-1))]$

la serie è telescopica e quindi rimane alla fine $lim_(n->+infty)P(A_n)$

Per allenamento potresti completare tutti dettagli che ho reso 'sottintesi' nella dimostrazione.
Queste cose inoltre possono essere generalizzate a spazi misura qualsiasi

[anti-spells]

Grazie, mi è servita al compitino alla fine ahah

[tommik]

Grazie, mi è servita al compitino alla fine ahah

ci vedo davvero poco da ridere....tengo presente in caso di future eventuali richieste.

[anto_zoolander]

Spero tu non l’abbia copiata all’esame...

[anti-spells]

Ragazzi state tranquilli..., ho messo il link alle 6:30 di sera con il latex perfetto e mi hai risposto alle 20:12, pensate sia possibile che abbia un esame alle 20:30 di sera?

Il compitino era oggi pomeriggio, ho imparato la dimostrazione di anto che mi è servita per un esercizio, tutto qua.

@tommik tu ti scaldi davvero per troppo poco