Ciao a tutti, vi riporto un esercizio che ho risolto, ma non sono certo sia il metodo corretto, se qualcuno riuscisse a dirmi se ho preso la strada giusta o sbagliata ve ne sarei grato.
Testo:
siano $X$ e $Y$ due v.a. discrete e sia $λ > 0$, allora verifica che $f(h, k) := e^(−2λ)/(2λ)*((h+k)λ^(h+k))/(h!k!)$, $ h, k ≥ 1$ definisce
una densità discreta;
Vi mostro di seguito il mio ragionamento.
Se $f(h,k)$ definisce una densità, $ rArr sum_(h,k>=1)^oo f(h,k) =1 $
Prendo la funzione $f$ e la riscrivo in forma più bella
$f(h,k) = (h+k)/(2lambda) * (e^(-λ)*λ^h)/(h!) * (e^(-λ)*λ^k)/(k!) $
Si può già notare che sono presenti due distribuzioni di poisson
quindi chiamo $X~ Po(lambda)$ , $rho_X(h) = (e^(-λ)*λ^h)/(h!) $ e $Y ~ Po(lambda)$, $rho_Y(k) = (e^(-λ)*λ^k)/(k!) $
rispettive V.A. e densità.
Unisco sommatoria e funzione così riscritta
$ rArr sum_(h,k>=1)^oo (h+k)/(2lambda)*rho_X(h)*rho_Y(k) =1 $
Ora, $rArr sum_(h,k>=1)^oo rho_X(h)*rho_Y(k) =1 $ Per definizione di densità questo è rispettato, manca solo da verificare
$ rArr sum_(h,k>=1)^oo (h+k)/(2lambda) = 1$
$ rArr sum_(h,k>=1)^oo (h+k)/(2) = lambda$
segue che $ (h+k)/(2) = lambda$ . Ora non capisco se ho concluso o meno, ho dimostrato che $f$ è densità se vengono rispettate determinate condizioni che nel testo non vengono enunciate
la mia idea è 1- $f : (X,Y) -> (X+Y)/2$ , $(h,k) ->(h+k)/2$ quindi f è densità, $rArr$ vero
2- Per determinati valori di h e k , f non assume valori discreti
esempio se $h=2$, $k=3$,$lambda=2,5$
$rArr$ f è densità ma non discreta $rArr$ falso