Valore atteso

[anto_zoolander]

Ciao!

Si può evitare di definire il valore atteso(di una variabile aleatoria discreta) ottenendolo magari per conseguenza di altro?
Ho letto che si tratta del “guadagno” che ci si può aspettare effettuando un numero sufficiente di prove indipendenti; come lo si può dimostrare?

[anto_zoolander]

Se $X:Omega->RR$ è una variabile aleatoria discreta è definito come $E[X]=sum_(k=1)^(+infty)x_kp(X=x_k)$ no?

poi segue che questa quantità esprime il guadagno che ci si può aspettare di ottenere effettuando un gran numero di prove. Questa ultima affermazione può essere dimostrata?

[markowitz]

Si può evitare di definire il valore atteso(di una variabile aleatoria discreta) ottenendolo magari per conseguenza di altro?
Ho letto che si tratta del “guadagno” che ci si può aspettare effettuando un numero sufficiente di prove indipendenti; come lo si può dimostrare?

tenendo a parte i tecnicismi (se sono proprio quelli che interesano ignorate il messaggio) possiamo sostituire la parola "guadagno" con quella più neutra di "valore"; naturalmente parliamo di un valore aleatorio. Per il resto la "definizione" che dai è praticamente il concetto di convergenza tra media campionaria e media di popolazione che, a partire da un campionamento randomizzato semplice, si dimostra dalla legge dei grandi numeri.

Eh mica tanto... quella è una formula di calcolo, non la definizione. La costruzione del valore atteso (che è la costruzione di un integrale rispetto a una misura alla fine) passa attraverso la definizione per prima cosa del valore atteso per variabili semplici, poi per variabili positive e infine per variabili qualsiasi. Quindi quella formula va dimostrata.

Bad news: la dimostrazione è alla fine un fatto di teoria della misura e non ti dice nulla su quanto metti in grassetto. Questa almeno è la teoria classica (assiomatica).

Se in ambito di definizione frequentista tale formula venga data come 'primitiva' nella costruzione del valore atteso e/o venga dimostrata a partire dalla definizione di probabilità come limite di frequenze non lo so, può darsi.

Infatti il concetto veramente primitivo, quello da definire per primo, deve essere quello di "probabilità". E' qui che si inseriscono le definizioni: classica, assiomatica, frequentista, soggettiva. Altrimenti si finisce sempre in un circolo vizioso.