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salve ,qualcuno portebbe dirmi se ho risolto correttamente questo eserxizio?


Determinare la densità di probabilità della variabile aleatoria
$Z=X^2-8X+15$
dove X è una variabile aleatoria gaussiana con media mx e varianza $sigma_{x}^2 unitaria$

quindi $f_{X}(x)=1/(sqrt(2pi))e^(-1/2(x-1)^2)$

allora $g(x)=x^2-8x+15$ quindi devo risolvere l'equaizone $x^2-8x+15=y => x^2-8x+(15-y)=0$

quindi $x=((8+- sqrt(4+4y)))/2$ questa è verificata se $4+4y>0 => y>= -1$

calcoliamo la derivata prima di $|(g(x)')| =2|x|-8$

applicando il teorema fondamnetale di trasformazione di una varioabile aleatoria e chiamando $x_(1) e x_(2)$ le due soluzioni

avrò $f_{Y}(y)= ((f_{X}(x)(x_(1)))/(|g(x_(1))'|)+(f_{X}(x)(x_(2)))/(|g(x_(2))'|))u(x+1)

grazie

faco ha scritto:salve ,qualcuno portebbe dirmi se ho risolto correttamente questo eserxizio?


Determinare la densità di probabilità della variabile aleatoria
$Z=X^2-8X+15$
dove X è una variabile aleatoria gaussiana con media mx e varianza $sigma_{x}^2$

quindi $f_{X}(x)=1/(sqrt(2pi))e^(-1/2(x-1)^2)$

allora $g(x)=x^2-8x+15$ quindi devo risolvere l'equaizone $x^2-8x+15=y => x^2-8x+(15-y)=0$

quindi $x=((8+- sqrt(4+4y)))/2$ questa è verificata se $4+4y>0 => y>= -1$

calcoliamo la derivata prima di $|(g(x)')| =2|x|-8$

applicando il teorema fondamnetale di trasformazione di una varioabile aleatoria e chiamando $x_(1) e x_(2)$ le due soluzioni

avrò $f_{Y}(y)= ((f_{X}(x)(x_(1)))/(|g(x_(1))'|)+(f_{X}(x)(x_(2)))/(|g(x_(2))'|))u(x+1)

grazie

1)
$f_{X}(x)=1/(sigma_Xsqrt(2pi))e^(-1/(2sigma_X^2)(x-mu_X)^2)$

2)
$x^2-8x+15-y=0->x=4+-sqrt(y+1)$

3)$|(d(g(x)))/(dx)|=|2x-8|$

Quindi:

$f_Y(y)=[1/(2sigma_Xsqrt(2pi(y+1)))e^(-1/(2sigma_X^2)(4+sqrt(y+1)-mu_X)^2)+1/(2sigma_Xsqrt(2pi(y+1)))e^(-1/(2sigma_X^2)(4-sqrt(y+1)-mu_X)^2)]u(y+1)

nicola de rosa ha scritto:

faco ha scritto:salve ,qualcuno portebbe dirmi se ho risolto correttamente questo eserxizio?


Determinare la densità di probabilità della variabile aleatoria
$Z=X^2-8X+15$
dove X è una variabile aleatoria gaussiana con media mx e varianza $sigma_{x}^2$

quindi $f_{X}(x)=1/(sqrt(2pi))e^(-1/2(x-1)^2)$

allora $g(x)=x^2-8x+15$ quindi devo risolvere l'equaizone $x^2-8x+15=y => x^2-8x+(15-y)=0$

quindi $x=((8+- sqrt(4+4y)))/2$ questa è verificata se $4+4y>0 => y>= -1$

calcoliamo la derivata prima di $|(g(x)')| =2|x|-8$

applicando il teorema fondamnetale di trasformazione di una varioabile aleatoria e chiamando $x_(1) e x_(2)$ le due soluzioni

avrò $f_{Y}(y)= ((f_{X}(x)(x_(1)))/(|g(x_(1))'|)+(f_{X}(x)(x_(2)))/(|g(x_(2))'|))u(x+1)

grazie

1)
$f_{X}(x)=1/(sigma_Xsqrt(2pi))e^(-1/(2sigma_X^2)(x-mu_X)^2)$

2)
$x^2-8x+15-y=0->x=4+-sqrt(y+1)$

3)$|(d(g(x)))/(dx)|=|2x-8|$

Quindi:

$f_Y(y)=[1/(2sigma_Xsqrt(2pi(y+1)))e^(-1/(2sigma_X^2)(4+sqrt(y+1)-mu_X)^2)+1/(2sigma_Xsqrt(2pi(y+1)))e^(-1/(2sigma_X^2)(4-sqrt(y+1)-mu_X)^2)]u(y+1)

si grazie per avermi risposto.si hai raghione ho sbagliato ha derivare ,cmq se vedi ho coretto il posto inizila epoiche era media è varianza unitaria.
cmq almeno mi conformta il procedimento sia esatto.E molto semplice ma quando nn lo vedi mai da nessuna parte è difficile capirlo da soli.Grazie ùche se non era per te che mi hai aiutato nell'altro post stavo a scervellarmi su come si fa

faco ha scritto:
si grazie per avermi risposto.si hai raghione ho sbagliato ha derivare ,cmq se vedi ho coretto il posto inizila epoiche era media è varianza unitaria.
cmq almeno mi conformta il procedimento sia esatto.E molto semplice ma quando nn lo vedi mai da nessuna parte è difficile capirlo da soli.Grazie ùche se non era per te che mi hai aiutato nell'altro post stavo a scervellarmi su come si fa

figurati, di niente