sto studiando per l'esame di probabilità ed informazione e purtroppo sto avendo non poche difficoltà.
Senza perdermi in chiacchiere vi propongo il testo dell'esercizio:
Si consideri la variabile aleatoria di pdf (funzione di densità di probabilità) $f_{X}(x)=kx$ per $x in ]0,1[$, e $f_{X}(x)=0$ altrove.
$a)$ Determinare il valore della costante $k$.
$b)$ Considerata la variabile aleatoria $Y = -log(x)$ determinare la pdf di $Y$
$c)$ Calcolare la probabilità che $1/2<X<2$
$d)$ Calcolare la probabilità che $0<Y<1$
Per il primo punto il mio ragionamento è stato il seguente:
sapendo che la variabile aleatoria ha pdf non nulla solo nell'intervallo $]0,1[$, allora deve risultare che $\int_{0}^{1} f_{X}(x) dx = 1$ cioè che $\int_{0}^{1} kx dx = 1$ , e risolvendo l'integrale ottengo $k=2$.
Per quanto riguarda il secondo punto:
ho utilizzato per il calcolo della pdf di $Y$ la formula $f(y) = \sum_{i} f(x_{i})/|g'(x_{i})|$, dove $x_{i}$ sono le soluzioni di $y=g(x)$.
Allora ho risolto l'equazione $y=-log(x)$ ottenendo come risultato risolvendola rispetto ad $x$, $x = 1/e^y$
Poi ho calcolato la $g'(x)$ ottenendo $1/|x|$. Quindi la pdf di $Y$ è $f_{Y}(y)=e^yf_{X}(1/e^y)$. Ma per come è definita la pdf di $X$, per $y>0$ $f_{X}(x) = 2/e^y$ dunque la pdf di $Y$ dovrebbe essere $f_{Y}(y) = 2$. E qui mi sorge il primo dubbio: è possibile avere una pdf costante per ogni $y>0$? Difatti credo sia proprio questo risultato a darmi un risultato assurdo nell'ultimo punto del problema.
Terzo punto:
tale probabilità dovrei ottenerla risolvendo $\int_(1/2)^2f_{X}(x)dx$ cioè $\int_(1/2)^2 2xdx$. Ma siccome la variabile aleatoria $X$ ha pdf definita solo in $]0,1[$, allora mi sono limitato a calcolare l'integrale tra $1/2$ ed $1$ (altro dubbio), ottenendo come risultato $\int_(1/2)^1 2xdx = 3/4$
Quarto punto:
anche qui ho risolto come prima,cioè $\int_0^1f_{Y}(y)dy$ ovvero $\int_(0)^(1)2dy$ ottenendo come risultato $2$ e qui non ci sono dubbi di un errore.
Spero di non essermi dilungato troppo e soprattutto confido in un vostro aiuto
Inizio già a ringraziare tutti voi! 
