Esercizio statistica completa

[Ale17]

Ciao a tutti. Qualcuno riesce a darmi una mano con questo esercizio di statistica?

Siano $X_1,..., X_n ~ \ U_{ {1,...,N } }$ con $N in NN$. Mostrare che $T(X)= X_1$ è statistica completa per $N$.

Io ho cercato di svolgerlo sfruttando la definizione di statistica completa, ma non riesco ad arrivare da nessuna parte!
Grazie

[tommik]

Supponiamo che $mathbb{E}_N[g(T)]=1/Nsum_(k=1)^(N)g(k)=0$ $AA N=1,2,...$


Se $N=1$, allora $mathbb{E}_(N=1)[g(T)]=g(1)/1=0 rarr g(1)=0$


Se $N=2$, allora $mathbb{E}_(N=2)[g(T)]=(g(1))/2+(g(2))/2=0 rarr g(2)=0$


Se $N=3$, allora $mathbb{E}_(N=3)[g(T)]=(g(1))/3+(g(2))/3+(g(3))/3=0 rarr g(3)=0$

ecc ecc

Continuando il processo, si ottiene che $g(k)=0$, $AAk=1,2,...$

e quindi

$mathbb{P}_N[g(X_1)=0]=1$ $AA k=1,2,...$

quindi $T=X_1$ è completa.