Esercizio sui vettori aleatori

[Bob23]

Salve, mi potreste dare alcuni consigli su questo esercizio
Un vettore aleatorio $ W=(X,Y) $ è uniformemente distribuito in $ {(xy) : -1<x<0 , x^2 <y<1 } $ ,
rappresentare graficamente il supporto di W,
esplicitare analiticamente la funzione di densità di W,
Calcolare $ P(X<= -1/2 , Y<= 1/4) $
Calcolare $ P(X>= -1/2 | Y= 1/4) $
Ho disegnato il supporto credo in maniera corretta (non riesco a inserirlo tramite l'opzione aggiungi grafico),
e per definire la funzione di densità ho calcolato $ int_(-1)^(0) int_(x^2)^(1) k dxdy =1 $ , quindi $ k= 3/2 $
Mentre per le probabilità ho qualche problema, nella prima non mi sembra coerente l'avere $ X<= -1/2 $ mentre nella seconda il fatto che ho $ y=1/4 $ dovrebbe far si che la condizionata abbia probabilità 0?

mi scuso in anticipo per i possibili errori banali che ho commesso!
Ho trovato nel forum esercizi simili che sono riuscito a risolvere mentre questo mi ha confuso un pò.

[tommik]

Si risolve tutto senza nemmeno usare carta e penna ma solo guardando il grafico del supporto del vettore aleatorio.

$mathbb{P}[X<=-1/2;Y<=1/4]=0$

$mathbb{P}[X>=-1/2|Y=1/4]=1$

Per il secondo quesito può essere istruttivo fare i conti, ad esempio, calcolando la densità condizionata $f_(X|Y)(x|y)=1/sqrt(y)$ che, dato $y=1/4$, viene uniforme in $[-1/2;0)$ ....da cui il risultato.

Per eventuali dubbi ti può essere utile questo topic, che ho risolto nel dettaglio, spiegato ed approfondito ma non ho avuto, sigh, alcun feedback da parte dell'utente.

Se ti può essere utile ne sono felice, almeno non ho buttato del tempo ....

[Bob23]

Grazie mille per la risposta. Avevo già letto il topic che mi hai riproposto e l’avevo trovato molto utile. Inoltre ti posso confermarti che il testo dell’ esercizio scritto dal ragazzo presentava errori di stampa ( i valori da assumere erano 1,5 e non 0,5).
Per quanto riguarda il mio esercizio mi posteresti confermare che gli estremi degli integrali sono corretti? E nel caso avessi voluto scriverli rispetto a y e non a x come sarebbero stati?

[tommik]

L'integrale doppio che hai scritto è corretto ma del tutto inutile. Se volessi scriverlo y-semplice sarebbe, in modo altrettanto inutile, così

$kint_0^1dy int_(-sqrt(y))^0 dx=1 rarr k=3/2$

Per calcolare la densità del vettore, una volta disegnato il supporto, basta calcolarne l'area

$1- int_(-1)^0 x^2 dx=2/3$ e farne il reciproco.

[Bob23]

Prefetto grazie mille. Sto cercando di usare il metodo proposto dal prof a lezione nella risoluzione degli esercizi, anche se adesso sto iniziando a usare il tuo metodo ( che ho visto in altre risoluzioni di esercizi simili) che è molto più rapido. Ti ringrazio ancora