Buongiorno a tutti, scrivo per esporre un dubbio.
Tempo fa lessi un articolo che si ispirava ad un gioco televisivo americano. Il concorrente sceglie una fra tre buste (A, B oppure C); una contiene un premio, le altre nulla. Fatta la scelta, il presentatore apre una delle due rimaste mostrando che non contiene nulla e chiede al concorrente se intende tenere la busta scelta o cambiarla con quella rimasta. Se il concorrente cambia la busta, la probabilità di vincere è maggiore, uguale o minore che non quella nel caso in cui invece si tenga la propria? L'articolo risolve la faccenda così: supponiamo che la busta col premio sia la C; allora tre casi:
1. il concorrente sceglie la A, ovviamente il presentatore gli fa vedere che nella B non c'è nulla, quindi se tiene la busta perde, se la cambia (con la C che è rimasta) vince;
2. il concorrente sceglie la B, ovviamente il presentatore gli fa vedere che nella A non c'è nulla, quindi se tiene la busta perde, se la cambia (con la C che è rimasta) vince;
3. il concorrente sceglie la C ; il presentatore apre indifferentemente la A o la B, in ogni caso se il concorrente tiene la busta vince, se la cambia perde.
Conclusione: se cambia la busta, in due casi vince ed in uno perde quindi la probabilità (subordinata) di vincere cambiando busta è $2/3$.
Mi pare ci sia una falla nel ragionamento. Credo che il caso 3. sia in realtà da scomporre in due casi elementari:
3.1 il concorrente sceglie la C ; il presentatore apre la A , se il concorrente tiene la busta vince, se la cambia perde;
3.2 il concorrente sceglie la C ; il presentatore apre la B , se il concorrente tiene la busta vince, se la cambia perde.
Così gli esiti possibili diventano $8$, in $4$ dei quali il concorrente vince cambiando la busta e pertanto la probabilità di vincita rimane la stessa indipendentemente dalla scelta fatta.
Chi ha ragione?