valore atteso di una v.c. continua

Messaggioda Clairecc » 16/05/2019, 15:02

buongiorno a tutti,

mi sono giusta cimentata nel calcolo del valore atteso di una variabile causale continua e ho un problema nel capire come si è giunti ad un determinato risultato.
si tratta del valore atteso $E(X)= \int_{-infty}^{+infty} x \lambda e^{\-lambda x} dx$
sono arrivata a risolvere l'integrale solo che il risultato che il libro da ($1/\lambda$) mi riesce solo se pongo l'integrale definito tra 0 e $ + infty $ e non riesco a capire come il libro sia potuto arrivare a quella conclusione dato l'intervallo $(-infty ; + infty)$ :? .
Per caso centra l'integrale Gaussiano per cui quando si ha esponente pari di un'integrale allora si integra per $2\int_{0}^{+infty}x ... $ o non centra nulla?
purtroppo mi sono bloccata e non riesco ad andare avanti, grazie a chiunque voglia aiutarmi.
Clairecc
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 3 di 12
Iscritto il: 06/05/2019, 16:49

Re: valore atteso di una v.c. continua

Messaggioda tommik » 16/05/2019, 15:22

c'è un evidente errore nel libro.

EDIT: potrebbe anche andare bene come ha scritto il libro, a patto di indicare che la funzione di densità è questa

$f(x)=lambdae^(-lambdax)mathbb{1}_([0;+oo))(x)$ e quindi l'integrale per valori negativi di x fa zero, essendo zero l'integranda


Ad ogni modo è la media di una esponenziale negativa che è definita in $[0;+oo)$ e $lambda>0$

PS: hai cambiato il testo :smt071 ....prima c'era un $x^2$ all'esponente o me lo sono sognato1???

Clairecc ha scritto:si tratta del valore atteso $E(X)= \int_{-infty}^{+infty} x \lambda e^{\-lambda x^2} dx$


A questo punto, per punizione2, dovresti calcolare questo con la stessa distribuzione esponenziale

$mathbb{E}[X^n]=int_(0)^(+oo)x^nlambdae^(-lambdax)dx=?$ con $n in NN$

Note

  1. sarebbe stato comunque un errore aggiuntivo
  2. punizione istruttiva, ovviamente, e non repressiva
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
Avatar utente
tommik
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 5576 di 5770
Iscritto il: 23/04/2015, 14:13
Località: in provincia di Varese

Re: valore atteso di una v.c. continua

Messaggioda Clairecc » 16/05/2019, 17:01

caspita che occhio che hai :-D , comunque c'è una spiegazione è da ieri che stavo cercando di trovare una soluzione per $\int_{-infty}^{+infty} $ oggi ho ripreso ma erroneamente stavo cercando di risolvere con l'esponente quadrato :oops: per questo in internet trovavo l' itegrale di Gauss, che se non ho capito male serve a trovare il volume sottostante alla curva e non l'area.
comunque grazie, quindi considero sempre l'intervallo $[0,+infty]$ quando calcolo valore atteso o valore medio...

per quanto riguarda la punizione, almeno che io non abbia compreso male quello che devo fare visto che sono discretamente fusa, è un pò hard per me :-D e fortunatamente non è neanche in programma, almeno una gioia :-D

ti ringrazio, non fosse stato per te starei ancora scervellandomi :roll:.
EDIT:Intervallo $[0,+ infty )$
Clairecc
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 4 di 12
Iscritto il: 06/05/2019, 16:49

Re: valore atteso di una v.c. continua

Messaggioda tommik » 17/05/2019, 10:05

Clairecc ha scritto: per questo in internet trovavo l' itegrale di Gauss, che se non ho capito male serve a trovare il volume sottostante alla curva e non l'area.


:shock: :shock:

Forse, e sottolineo che questa è solo una mia opinione, invece di zampettare in internet è meglio rifarsi al libro di testo che ti è stato fornito dal docente.

Ad ogni modo, la media di una variabile continua è definita in vari modi ma il più comune è questo:

$mathbb{E}[X]=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx$

dove con $int_(-oo)^(+oo)$ si intende l'integrale su TUTTO il supporto della variabile.

Nel tuo caso, la variabile è una esponenziale negativa, definita in $RR^+$ e quindi la media viene

$mathbb{E}[X]=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx=int_(0)^(+oo)xlambdae^(-lambdax)dx=1/lambda$

Se la variabile fosse stata, ad esempio, una Gaussiana la sua media sarebbe stata

$mathbb{E}[X]=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx=int_(-oo)^(+oo)x 1/(sigmasqrt(2pi))e^(-1/(2sigma^2)(x-mu)^2)dx="....pochi passaggi..."=mu$

Se fosse stata una uniforme $X~ U(a;b)$ sarebbe stata


$mathbb{E}[X]=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx=int_(a)^(b)x1/(b-a)dx=(a+b)/2$

ecc ecc

Per quanto riguarda l'esercizio che ti ho proposto mi sembra strano che non sia parte del programma (ovviamente dipende da che studi stai facendo): è il calcolo dei momenti di una variabile esponenziale negativa1, che si risolve in due passaggi a patto di conoscere cosa sia una funzione gamma

Infatti,

$mathbb{E}[X^n]=int_(0)^(+oo)x^nlambdae^(-lambdax)dx=1/lambda^nint_(0)^(+oo)(lambdax)^n e^(-lambdax)d(lambdax)=1/lambda^n Gamma(n+1)=(n!)/lambda^n$

da cui subito (e senza risolvere alcun integrale)

$mathbb{E}[X]=1/lambda$

$mathbb{E}[X^2]=2/lambda^2$

ecc ecc

Note

  1. qui invece puoi trovare la dimostrazione del calcolo dei momenti di una Gaussiana, cosa altrettanto utile
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
Avatar utente
tommik
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 5580 di 5770
Iscritto il: 23/04/2015, 14:13
Località: in provincia di Varese

Re: valore atteso di una v.c. continua

Messaggioda Clairecc » 17/05/2019, 17:13

grazie mille! sei molto gentile.

Spieghi molto bene, fai per caso il professore?

comunque la normale o gaussiana l'ho giusto studiata questa mattina... ahimè ho scoperto che ho pure la gamma in programma, la studierò nei prossimi giorni, quindi grazie ancora per i link molto utili. :D
Clairecc
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 5 di 12
Iscritto il: 06/05/2019, 16:49


Torna a Statistica e probabilità

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 5 ospiti